< NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/05/2026 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NOMBRES NARCISSIQUES (suite)
Nombres K-narcissiques Nombre égal à k fois la somme des puissances de ses chiffres. Exemple avec k = 2 et des cubes 702 = 2 (7^3 + 0^3 + 2^3) = 2 (343 + 8) = 2 x 351 Avec k = 1, le nombre est un pur narcissique.	Nombres narcissiques généralisés Nombre égal à une fonction linéaire de la somme des puissances de ses chiffres. Exemple 336 = 3+3+6 + 3^2+3^2+6^2 + 3^3+3^3+6^3 = 12 + 54 + 270
Nombres expository de Keith Nombre égal à une combinaison des sommes des chiffres du nombre, du carré, du cube, etc. et, dans chaque cas, mis à une puissance particulière. Les multiples sont autorisés Exemple avec k = 2 et des cubes Le nombre 336 est égal à la somme de ses chiffres à la puissance 1, 2 et 3. Le nombre 39 est égal à la somme de ses chiffres de ceux de son carré et sa puissance quatrième.

Voir Narcissiques et leurs cousins.

Narcissiques généralisés
Codage du type S = somme 1 = somme des chiffres 2 = sommes des carrés 3 = somme des cubes S233 = somme des carrés et deux fois somme des cubes Tableau Toutes les configurations en sommes de chiffres, carrés et cubes de 1 à 3 fois chacune. Remarquables 153 336 666 1998 Le nombre 1998 est le maximum atteignable de la sorte (cubes).	Premier nombre, lire 1 + 2 + 1^3+ 2^3
Tableau des nombres narcissiques généralisés jusqu'à la puissance 6 Avec répétition jusqu'à trois fois pour n jusqu'à 10 000 Le nombre 978 460 est le plus grand de la sorte (puissance 6). Somme maximale des chiffres à une puissance k Exemple de lecture: pour un nombre de quatre chiffres (Max = 9999), la somme des puissances quatrièmes est 26 244 qui est plus que Max. Inutile d'explorer plus loin avec des nombres de quatre chiffres.

Somme des puissances des chiffres
Table des nombres n = 10 à 50 et la sommes de leurs chiffres à la puissance p. En rouge, les sommes multiples ou sous-multiples du nombre n: les k-narcissiques. Comme 3 x 4 = 12 ou 72 = 3 x 24. Évolution

Les k-narcissiques jusqu'à n = 100 000
Cette table recense tous les k-narcissiques des nombres n de 10 à 100 000 Avec k variant de 1/5 à 5 Et les puissances de 1 à 5 des chiffres de n. En jaune, les nombres narcissiques (k = 1). Exemples de lecture n = 1 455 = 1/5 (1^5 + 4^5 + 5^5 + 5^5) = 7 275 / 5 = SC / 5 n = 24 203 = 1/3 (2^8 + 4^8 + 2^8 + 0^8 + 3^8) = 72 609 / 3 = SC / 3

Les plus petits k-narcissiques

Recensement du plus petit k-narcissique dans sa catégorie, selon le facteur multiplicatif k et la puissance p appliquée aux chiffres pour n jusqu'à 300 millions. Le tableau indique le plus petit dans sa catégorie. On donne le nombre N et la somme S de ses chiffres à la puissance p. En tête de colonne le rapport entier k entre N et S. Exemples de lecture n = 18 = 2 (1 + 8) = 2 x 9 n = 1455 = 1/5 (1^5 + 4^5 + 5^5 + 5^5) = 7 275 / 5 En jaune, chiffres remarquables. Le cas p = 1, nombre égal à k fois la somme de ses chiffres, fait l'objet d'une page spéciale (Nombres harshad).

Nombres narcissiques de Keith (expository)		haut
Nombres expository de Keith à deux termes T1 et T2 (sans doute les seuls). Pour 12, on note s1113 : 1 pour chiffres er 1 pour puissance 1; puis 1 pour chiffres et 3 pour leur cube. Pour 233, on note s2132: 2 pour les chiffres du carré et 1 pour la puissance 1; puis 3 pour les chiffres du cube et 2 pour leur carré. Autres exemples (avec plus de deux termes)
45 = 4+5 + 9+1+1+2+5 + 4+1+0+0+6+2+5 = 2+0+2+5 + 9+1+1+2+5 + 4+1+0+0+6+2+5 Voir DicoNombre 45	s11 31 41ou s21 31 41 45^2 = 2 025 45^3 = 91 125 45^4 = 4 100 625
48 = 4+8 + 2+3+0+4 + 5+3+0+8+4+1+6 Voir DicoNombre 48	s11 21 41 48^2 = 2 304 48^4 = 5 308 416
50 = 2+5 + 1²+2²+5² + 6+2+5 Voir DicoNombre 50	s21 22 41 50^2 = 2 500 50^4 = 6 250 000
51 = 5+1 + 1+3+2+6+5+1 + 3+4+5+0+2+5+2+5+1 Voir DicoNombre 51	s11 31 51 51^3 = 132 651 51^5 = 345 025 251
57 = 5+7 + 3+2+4+9 + 1+8+5+1+9+3 Voir DicoNombre 57	s11 21 31 57^2 = 3 248 57^3 = 185 193
57 = 5+7 + 1+8+5+1+9+3 + 1+5+5+6+1	s11 31 41 57^3 = 185 193 57^4 = 10 556 001
62 = 6+2 + 3+8+4+4 + 9+1+6+1+3+2+8+3+2 Voir DicoNombre 62	s11 21 51 62^2 = 3 844 62^5 = 916 132 832
336 = 3+3+6 + 3^2+3²+6^2 + 3^3+3^3+6^3 Voir DicoNombre 336	s11 12 13

Suite de cette Table en pdf

Voir Nombres et cycles de Keith / Brève 50-989

Suite	Somme des carrés des chiffres Somme des chiffres des puissances Somme-Produit des chiffres – Index
Voir	Automorphiques Facteurs sans zéro Nombres et puissances de leurs chiffres Palindromes Pannumériques Partition en puissance
Site	All Numbers Are Interesting: A Constructive Approach – Mike Keith - 1998
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Formes/Narcissk.htm