Triangle de Zagier et nombre 157

Triangle de Zagier		haut
Présentation Un triangle de Zagier est le triangle rectangle à côtés rationnels découvert par le mathématicien Don Zagier, dont l'aire vaut exactement 157. Les trois côtés sont pourtant des fractions gigantesques. C'est un exemple spectaculaire d'un phénomène appelé nombre congruent, et 157 est un nombre congruent.	Formulation Autrement dit, il existe trois nombres rationnels a, b et c tels que : et
Le triangle de Zagier

NOMBRE CONGRUENT

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Définition

Un entier positif n est appelé nombre congruent s'il existe un triangle rectangle dont :

les trois côtés sont des nombres rationnels ;

l'aire est exactement n.

Il faut donc trouver :

tels que:

a² + b² = c²

Exemple

Pour les petits nombres, on peut parfois trouver facilement un tel triangle.

Par exemple :

forment un triangle rectangle, car

et son aire vaut :

Donc : 5 est congruent.

LE CAS EXTRAORDINAIRE DE 157

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Solution pour 157

Pour l'aire 157, le problème est beaucoup moins facile à résoudre .

Don Zagier a montré que 157 est congruent en exhibant un triangle rectangle dont les côtés sont :

Ces trois nombres vérifient : a² + b² = c² et ab/2 = 157

Cette solution est devenue célèbre parce que 157 est un nombre relativement petit, mais le triangle rationnel correspondant est extraordinairement compliqué.

CONGRUENT et progression arithmétique		haut
Pourquoi « congruent » ? Le mot peut surprendre. Le terme vient d'une autre manière de présenter le problème. Supposons que a, b et c soient les côtés d'un triangle rectangle d'aire n. On a : a² + b² = c² et ab = 2n En additionnant et en soustrayant : et En divisant par 4 : Posons :	Progression arithmétique On obtient alors trois carrés rationnels : Ils sont en progression arithmétique, de raison n. Ainsi, pour n = 157, il existe trois carrés rationnels dont les écarts successifs sont exactement 157 C'est cette idée de différence commune entre trois carrés qui est à l'origine du terme nombre congruent
Le problème peut donc être reformulé Existe-t-il trois carrés rationnels distincts en progression arithmétique dont la raison est n ? Pour 157, la réponse est oui. Il existe donc : tels que : On peut même passer directement d'un triangle au triplet de carrés : à une permutation près selon les conventions utilisées. Cette formulation est particulièrement élégante : le même nombre 157 devient à la fois une aire de triangle et une différence entre carrés rationnels.

Une porte vers les courbes elliptiques

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C'est ici que le problème devient beaucoup plus passionnant.

À chaque nombre n, on peut associer la courbe elliptique :

ou, de façon équivalente,

Le problème des nombres congruents est alors relié à la recherche de points rationnels non triviaux sur cette courbe.

Pour un entier n sans facteur carré :

Ainsi, pour 157, on étudie la courbe :

Le problème géométrique du triangle rectangle se transforme donc en problème d'arithmétique sur une courbe elliptique.

Comparaison

Triangle héronien	Triangle de Zagier
Côtés entiers	Côtés rationnels
Aire entière	Aire entière
Triangle quelconque possible	Triangle rectangle
Formule de Héron	Théorème de Pythagore
Exemple : 19, 20, 37	Exemple : aire 157
Problème arithmétique des triangles	Problème des nombres congruents

Biographie

Don Bernhard Zagier, né en 1951 à Heidelberg, est un mathématicien américain. Il effectue ses études dans plusieurs pays — en Angleterre et au Massachusetts Institute of Technology notamment — avant de préparer sa thèse à Bonn sous la direction de Friedrich Hirzebruch, portant sur les classes de Pontryagin équivariantes et leurs applications aux espaces d'orbites. En 1975, il est nommé professeur à l'université de Bonn. Ses recherches portent sur la théorie des nombres, et plus particulièrement sur la théorie des formes modulaires et leurs connexions avec la topologie. On lui doit notamment une démonstration tenue en une seule phrase du théorème des deux carrés de Fermat. Il est professeur à l'institut Max-Planck de mathématiques à Bonn et a occupé la chaire de théorie des nombres au Collège de France à Paris de 2001 à 2014.

Source Don Zagier, formes modulaires et nombres | Tangente

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Voir	Addition – Glossaire Briques de Pythagore Congruence, modulo Nombres de Cunningham Pythagore – Biographie Triangle de Pythagore Triangle rectangle
Sites	Zagier Triangle – Tedszy Mathematics En 1993, Don Zagier a trouvé le plus petit triangle rectangle rationnel d'aire 157 - reddit
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