Triangle héronien

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/09/2026 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Triangles
Débutants Triangle	TRIANGLES RATIONNELS			Glossaire Triangle
INDEX Triangle Ésotérisme	Isiaque	Entiers	Congruents
	Pythagore	Héroniens	Même aire
	Ailles	Héron à 120°	Entier équilatéral
		Sommaire de cette page >>> Triangles Héroniens >>> Héroniens remarquables >>> Paramètres génériques >>> Héronien et trigonométrie >>> Suite héronienne >>> Problèmes ouvertes

TRIANGLES HÉRONIENS

Triangles quelconques dont les mesures sont des nombres entiers ou rationnels; côtés et aire.

Notez que: un triangle entier ou héronien (côtés = entiers) et aire entière, son aire est multiple de 6.

Historique: Il y a 2000 ans, Héron d'Alexandrie donne un exemple: a = 13, b = 14 et c = 15 avec une aire de 84. Au XVII^e siècle, plusieurs mathématiciens reprendront les travaux: François Viète, C.G. Bachet and Frans van Schooten jr. Au XIX^e, ils font l'objet de jeux. En 1934, Dickson fait le point sur ces triangles.

Exemple

Les triangles ABC et ABD sont héroniens. En effet:

Les longueurs des cotés sont entières: (19, 20 et 37)

Le demi-périmètre vaut s = ½ (19 + 20 + 37) = 38

L'aire se calcule avec la formule de Héron:

Et, A = 114, un nombre entier.

Notez la construction du triangle quelconque: tracez AB de longueur 37, puis deux cercles de centre A et B de rayon 19 et 20.

Voir Nombre 114

TRIANGLES HÉRONIENS

Triangle dont l'aire est un nombre entier (en fait, un nombre rationnel). Le triangle de Pythagore en est un, car son aire est égale à: (3 x 4 / 2 = 6) et il est rectangle.

Il en existe d'autres, très voisins, par forcément rectangles. En voici quelques exemples ci-contre.

Comment construire de tels triangles héroniens?

À partir de la formule de Héron qui donne l'aire du triangle quelconque: a, b et c sont les longueurs des trois côté.

P = 2 s = a + b + c, le périmètre. Le carré de l'aire du triangle est égale à:

A² = { s(s – a) (s – b) (s – c) }

Exemple avec le triangle isocèle 5 – 5 – 6

P = 5 + 5 + 6 = 16

s = 8

A² = 8 x 3 x 3 x 2 = 16 x 9

A = 4 x 3 = 12

Héroniens remarquables – Integer triangles

Quantité de triangles de périmètre P pour P de 3 à 20

La suite de ces nombres est nommée suite d'Alcuin

Suite OEIS A005044

Formule

Lire: plancher de n²/48 …)

Exemples

Il y a quatre triangles héroniens de périmètre égal à 11.
Leurs côtés: 1, 5, 5; 2, 4, 5; 3, 3, 5; 3, 4, 4.

Au total, il y a quinze triangles à côtés entiers (héroniens) ont un périmètre inférieur ou égal à 11.

Même valeur pour le périmètre et pour l'aire

Seuls cinq triangles à côtés entiers ont la même valeur pour le périmètre et l'aire:
(6, 8, 10), (5, 12, 13), (6, 25, 29), (7, 15, 20) et (9, 10, 17)
Seuls quatre sont primitifs. >>>

Equable triangles: area equals its perimeter.

Paramètres génériques

Cas générique

Voici quelques exemples numériques

Les premiers triplets dans l'ordre de la longueur maximale

(3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12),

(5, 12, 13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15),

(13, 14, 15), (10, 10, 16), ...

Valeurs pour a, b et c <101 Voir table

Héroniens et trigonométrie

Un triangle est héronien, ses trois côtés (a, b et c) étant des nombres entiers, son aire est aussi un nombre entier n, si et seulement s'il existe un nombre réel compris entre 0 et tel que:

Ce qui implique que le point (sin, cos) est un point rationnel, hors les points (1,0) et (-1,0), situé dans le quadrant positif du cercle unitaire.

Voir Trigonométrie / Cercle unité et Suite en Nombre t-congruent

Suite héronienne

Cette suite de neuf valeurs est une suite héronienne trouvée par Paul Yiu, K. R. S. Sastry and Shanzhen Gao en 2007:

Côté	60	275	325	500	525	697	746	1345	1797
Aire			4950	41250	78750	130872	175644	175644	452844

Voir Heron Sequences and Their Modifications / OEIS A134587

Problèmes ouverts

On ne sait pas s'il existe des triangles héroniens avec médianes entières.

On ne sait pas s'il existe des triangles héroniens de Fibonacci (côtés = nombres de Fibonacci), autre que le triangle (5, 5, 8).

Suite	Tables des triangles héroniens Triangles héroniens rectangles Triangle de Zagier
Héron	Héron d'Alexandrie Algorithme d'Héron
Voir	Cercles et triangle (3, 4, 5) Ésotérisme Nombre de la bête Nombres congruents Pépites Résolution des triangles Triangles Triplets de Pythagore
DicoNombre	Nombre 3 Nombre 4 Nombre 5 Nombre 13 Nombre 3 600
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Esoteris/Heronien.htm