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Nombres premiers Somme des inverses La somme des
inverses des nombres premiers du même type que celle des inverses des nombres
entier (série harmonique). |
Anglais: the sum of the
reciprocals of the prime numbers
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Nom
Famille
Description On considère la
fonction définie sur les nombres premiers :
Pour tout entier
Autrement dit, Cette définition
repose sur un résultat fondamental de la théorie analytique des nombres,
établi par Leonhard Euler : la série des inverses des nombres premiers
diverge, bien que très lentement. La suite Exemple
Prenons le cas où n = 1: Calculons
Donc, 5 est le premier de seuil de somme des
inverses pour Pour n = 2: Continuons le calcul :
Donc, 29 est le premier de seuil de somme
des inverses pour Liste
de nombres premiers de seuil (20 premières valeurs)
Propriétés
et Curiosités Croissance extrêmement rapide
on obtient heuristiquement :
Divergence lente Unicité structurelle Phénomène de raréfaction Interprétation analytique Rareté : Les premiers de seuil sont extrêmement rares pour
des valeurs élevées de n. Par exemple, le premier de seuil pour Sous-familles
Historique La
divergence de la somme des inverses des nombres premiers est démontrée au
XVIIIe siècle par Leonhard Euler. Au XIXe
siècle, Franz Mertens établit l’approximation asymptotique :
La
notion explicite de premiers de seuil n’apparaît pas comme une entrée
standard dans les bases de données classiques (telles que l’OEIS), bien
qu’elle découle naturellement de ces résultats. English Summary A threshold prime These primes grow extremely fast (roughly like Référence
OEIS Aucune
pour la somme des premiers et celle-ci pour la somme des premiers et leurs puissances: A332991 – a(n) is the smallest
prime power p^k (p prime, k >= 1) such that sum
of reciprocals of prime powers up to p^k (prime
power harmonic sum) exceeds n. |
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Quelques
valeurs Le dixième
premier vaut 29 et la somme des inverses jusqu'à lui est égale à 1,53… Au
millionième premier qui vaut 15 485 863, la somme des inverses des premiers
atteint péniblement 3,068… Celle des inverses des entiers attient 14,392…. |
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Divergence La
divergence de cette série a été prouvée par Euler en 1737 pour la première fois (Diverses observations relatives aux
séries infinies). Sa démonstration
originale (aves les produits d'Euler) est considérée comme la base de la
théorie analytique des nombres. Il disait: cette somme
progresse vers l'infini moins vite que la série harmonique.
Elle varie comme le logarithme de celle-ci. |
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Somme
alternée des inverses des nombres premiers |
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La somme des inverses des nombres premiers
dépasse le nombre 2 pour le 59e nombre premier qui est 277. La
valeur est 2, 002350… |
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Valeur de la somme |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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Rang du nombre premier |
1 |
3 |
59 |
361139 |
43922730588128390 |
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Valeur du nombre premier |
2 |
5 |
277 |
5195977 |
1801241230056600523 |
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Suite |
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Voir |
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