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Édition du: 01/11/2026 |
PENTAGONE RÉGULIER – Constructions
Méthodes approchées, Méthode dite de Dürer
Plusieurs méthodes de construction exactes du
pentagone régulier. Certains
ont cru avoir trouvé d'autres méthodes. Très voisines de l'exactitude, mais
approchée. C'est le cas de la méthode exposée par Albrecht Dürer, sans doute
trouvée avant lui. |
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Construction
rare en architecture médiévale, comparée au triangle et au carré, sans
doute par méconnaissance de la manière de le construire de façon simple. Méthodes qui
seront connues des architectes à partir du 16e siècle bien que
connues des arts libéraux. Les
maitres-maçons ont plutôt inventé des méthodes d'approximation géométriques. |
Pourtant le nombre 5 et le pentagone avaient
une valeur hautement symbolique. Nombre 5, symbole des
besoins humains, de la rédemption et de la grâce. Référence aux cinq plaies
du Christ (mains, pieds et flanc droit) ou encore à la parabole des dix vierges
(cinq sages et cinq folles). Nombre cinq de la quintessence
en alchimie: cinquième essence qui assure le cohésion ou la vie, ajoutée aux
quatre premiers: terre, feu, air et eau. Pentagramme
comme symbole de ralliement de l'école de Pythagore. D'autres associent le
nombre cinq au dieu ultime et à la globalité de l'univers. |
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Construction approchée avec triangles rectangles
(1,3) Tangente (72°) = 3,077… Approximé à 3 |
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Méthode approchée dite de Dürer (1525) Connue du maitre
allemand Mathes Roritzer en 1486 (et avant ?) Avantage: une seule
ouverture de compas. L'approximation est
minime (le vrai pentagone est en bleu); l'écart est invisible sur la figure
complète à droite.
Suite et
détails ci-dessous |
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Voir Construction avec la
fraction 10/17
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1486: cette construction figure dans le
Geometria deutsch,
manuel de six
feuilles attribué à
l’architecte Matthäus Roritzer
et imprimé à Ratisbonne en 1486. 1525, Dürer a sans doute puisé pour la
présenter dans le tome II de son livre Traité de la mesure, avec la règle et
le compas, en lignes, niveaux et corps entiers (1525) Underweysung
der Messung, mit dem
Zirckel und Richtscheyt,
in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen La méthode figure dans les manuels de
géométrie sous le nom de méthode Dürer et elle reprise par de nombreux
mathématiciens: Tartaglia, Cardan, Guidobaldo del Monte, Cataldi, etc. 1592, Galilée reprend cette
construction dans son cours de mathématiques. Elle figurait dans les manuels
de Voir Pentagones fractals
de Dürer |
Albrecht Dürer (1471-1528): dessinateur, graveur et peintre allemand également connu
comme théoricien de la géométrie et de la perspective linéaire. Son livre (1525): Traité de la mesure,
avec la règle et le compas, en lignes, niveaux et corps entiers. Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen. Extrait sur la construction du pentagone
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D'après La géométrie d'Albrechy Dürer
– Jeanne Peiffer
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Construction approchée dite de Dürer Le segment
AB est un côté du pentagone. La même ouverture de
compas AB va servir tout le long de cette construction. Cercle de
centre A et de rayon AB. Cercle de
centre B et de rayon AB. Intersections
en C et D. Cercle
(rose) de centre D et de rayon AB. Intersections
en E, F et G. Droites EG
et FG. Intersections
en H et I. AH et BI
sont deux nouveaux côtés du pentagone. Attention le point G n'est pas sur AB ! Cercle de
centre H et de rayon AB Cercle de
centre I et de rayon AB HJ et IJ
sont les deux derniers côtés du pentagone. Pentagone: ABIJH Pourquoi approchée ? Rayon des cercle = 1
(disons). EF est le diamètre du
cercle (D) = 2 Angle EAF = Angle EBF =
Droit. Pythagore dans le
triangle rectangle EBF: BE = AEF est un triangle
rectangle avec côté R et 2R => angles
(30°, 60°). Arc AG = Arc GB. EG bissectrice de
l'angle AEB. Angle GEB = 15° Loi
des sinus dans le triangle EBI: sin(BEI) / BI = sin(BIE)
/ BE sin(BIE) = BIE = 26,63387984…° IBE = 180 – 15 – 26, 6…
= 138,3661202… Avec ABE = 30° IBA = 138,3… - 30 = 108,3661202 … Au lieu de 108° Erreur relative de 0,34% |
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Merci à J. Hubert pour sa relecture attentive
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Variante de méthode A1) Triangle
équilatéral ABP. Trois
cercles verts centrés sur les sommets. Intersections
F, G, P et R Droite PR Intersection
Q Droites FQ
et GQ Intersections
E et C Cercles (E,
EA) et (C, CB) Intersection
D Pentagone:
ABCDE. |
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