Théorème de la carpette

Plus imagé et plus évident (Illustration): si une moquette recouvre toute une pièce, si on détache un morceau pour le poser sur la partie restante, la zone découverte et la zone de chevauchement ont la même aire.

Anglais: the carpets theorem

Sommaire de cette page

>>> Approche – Exemples

>>> Cas simples

>>> Cas général

>>> Formulation

>>> Application

Débutants

Géométrie

Glossaire

Géométrie

Approche – Exemples			haut
Tapis rectangulaire
Le sol est recouvert de trois tapis identiques.	Le troisième a été dérangé et se retrouve à cheval sur les deux autres.	La zone de chevauchement recouvre exactement la même surface que la zone découverte (hachures).
Tapis circulaires Un sol en forme de grand cercle de rayon R. Quatre petits tapis en forme de cercle de rayon r = R/2. Ces quatre tapis pourraient couvrir exactement la surface du sol. Disposés avec recouvrement, la partie de chevauchement (rose foncé) occupe exactement la même surface que les quatre zones blanches non couvertes en périphérie. Voir Brève 693
Tapis triangulaire Deux tapis triangulaires sur un son carré. Chacun recouvre un demi-carré; les deux couvriraient le carré en entier. Disposés avec recouvrement, la partie de chevauchement (jaune) occupe exactement la même surface que les trois zones blanches non couvertes.

Théorème - Cas simples

haut

Données

Un rectangle.

Deux points sur un côté délimitant un segment, base de deux triangles dont le troisième sommet se trouve sur le côté opposé du rectangle.

Propriété

Les deux grands triangles bleus partagent la même base (verte) et la même hauteur (un côté du rectangle): ils ont la même aire.

Ils ont en commun le petit triangle ocre. Une fois celui-ci retiré, les deux triangles jaunes ont même aire.

Cas particulier

Propriété vraie même si l'un des côtés des triangles est confondu avec un côté du rectangle.

Voir Comparaison de l'aire de triangles

Les aires jaunes sont égales

Théorème – Cas général		haut
Données Un rectangle ABCD. Un triangle ABD, en fait, un demi-rectangle Un triangle BCP avec un côté commun avec le rectangle et un sommet sur le côté opposé du rectangle. Propriété Les deux triangles ABD et BCP ont la même aire (un demi-rectangle). La partie commune (en chevauchement) est BEP. Les parties restantes ont même aire. Aires roses = aire jaune.	Rectangle
Données Un carré ABCD. Deux triangles: ABQ et BCP. Propriété Les deux triangles ABQ et BCP ont la même aire (un demi-rectangle). La partie commune (en chevauchement) est BFEG. Les parties restantes ont même aire. Aires roses = aire jaune.	Carré
Données Même chose que ci-dessus. S = aire d'un demi-rectangle. Propriété Aire ABQ = S (vert). Aire ABP + DCP = S (noir). La partie Ex non couverte est exclue. Les parties Ch se chevauchent. Les parties restantes ont même aire. Aires roses = aire jaune.

Cas d'un carré avec points mobiles au milieu des côtés

Exemples numériques pour un carré de 20 x 20

Théorème – Formalisation

haut

Théorème

Une surface C quelconque est partagée en deux de deux façons différentes avec deux parties de même aire alors, en retirant ces parties des autres parties opposées, les parties restantes ont même aire.

Formules en termes d'aires

Les aires A et A' son égales.

C'est une évidence: on retire les deux mêmes aires à la forme initiale C.

Illustration

Application		haut
Problème Un quadrilatère ABCD. Les milieux E, F, G et H Montrer que l'aire rose est égale à l'aire bleue. Solution On va s'intéresser aux deux bandes AFCH et DEBG. On trace les diagonales (vertes). aire(ACF) = 1/2 aire(ABC) aire(ACH) = 1/2 aire(ACD) Somme = aire de la bande transversale: aire(AFCH) = 1/2 aire (ABCD). Idem pour l'autre bande transversale: aire(DEBG) = 1/2 aire (ABCD).	Chaque bande transversale occupe la moitié de la surface du quadrilatère complet.
Application du théorème de la carpette Les deux bandes, occupant chacune la moitié de l'aire ABCD, occuperaient ensemble (en les découpant) la surface entière du quadrilatère ABCD. D'après le théorème de la carpette: La zone de chevauchement (rose) et la zone non couverte (bleue) ont la même aire.

Anglais

The Carpets Theorem:

Suppose that the floor of a room is completely covered by a collection of non-overlapping carpets. If we move one of the carpets, then the overlapping area is equal to the uncovered area of the floor.

Voir Anglais pour le bac et pour les affaires

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Sites	Le théorème du tapis – Thérèse Eveilleau The Carpets Theorem. What is it about? A Mathematical Droodle – Cut-the-Knot – Nombreux exemples avec interactions
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Geometri/Carpette.htm