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Carrés – Propriétés |
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Combien de
possibilités de couper ce carré en deux parties égales en suivant les lignes
du quadrillage ? |
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Théorème Dans un carré deux sécantes orthogonales
découpent des segments de même longueur. Les segments bleus ont même longueur quelle
que soit la position du point de croisement. Démonstration Dans les triangles rectangles semblables avec
l'angle alpha:
Or, a + b = c + d
=> x + y = v + w |
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Carré ABCD, E milieu de BC et F et G milieux de
BE et EC. Quelle est la longueur de la médiane AE et celles
des semi- médianes AG et AF ? Diagonale AC
avec AB = a = 10
Longueurs des segments
Angles
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Tableau des angles selon la quantité de segments
découpés sur BC
Exemple sur la figure, k = 4, et l'angle GAE
vaut 12,52881…° |
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import
math def calculer_angles_segments(k):
angles_cumules = []
for
i in range(1, k + 1):
angle_rad =
math.atan(i / k)
angle_deg =
math.degrees(angle_rad)
angles_cumules.append(angle_deg)
angles_individuels = [angles_cumules[0]]
for
i in range(1, k):
diff =
angles_cumules[i] - angles_cumules[i-1]
angles_individuels.append(diff)
return
angles_individuels k = 4 resultats = calculer_angles_segments(k) print(f"Pour k = {k},
les angles en degrés sont :") for
i,
angle in enumerate(resultats, 1):
print(f" {angle:.5f}°") Résultat Pour k = 4, les angles successifs en degrés sont : 14.03624° 12.52881° 10.30485° 8.13010° |
But Lister les angles individuels pour une valeur de k donné; k étant la
quantité de segments découpés sur BC Commentaires On calcule d'abord les angles complets par rapport à la base AB. Puis on calcule chaque angle individuel par différence. Programme principal avec k = 4. |
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Voir Médianes du triangle
équilatéral / Diagonales des
polygones
Voir Programmation – Index / Programmes Python – Index
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Énigme On
connait les dimensions de cette diagonale brisée à angles droits. Trouver
la longueur du côté du carré. Solution Tracer la
diagonale (verte) et translater deux segments de sorte que l'on retrouve un
triangle rectangle. Avec Pythagore: D² = 21²
+ 3² = 450 D = 15 Encore
Pythagore pour le côté: C² +
C² = D² = 2 C²
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Carré avec diagonale brisée
Détail pour solution
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La longueur d'un segment est conservée suite à une rotation. Cette propriété
anodine va nous servir Même si la rotation
n'apparaît pas toujours au premier coup d'œil. |
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Deux carrés avec
un sommet commun A. On dessine les deux segments indiqués en rouge. On va démontrer que ces deux segments sont égaux (de même mesure)
et disposés à angle droit. |
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Rotation de centre A d'un angle de 90 °
B devient D et b devient d |
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C'est vrai pour les
segments ayant ces
extrémités |
Bb
devient Dd Bd
et Dd ont même longueur |
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C'est une rotation
de 90° |
Bb
est perpendiculaire à Dd |
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Exemples de cas extrêmes |
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Question Quelle est l'aire de la région limitée par cette équation ?
Réponse La région est délimitée par ces quatre droites:
Le graphe montre que cette région est un carré orienté à 45° dont le
côté vaut racine de 2.
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Les six façons de couper le carré en
deux parties égales (hors symétries et rotations)
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Suite |
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Angles |
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Voir |
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