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Édition du: 18/04/2026 |
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Quantité d'intersections créés par les diagonales d'un
polygone régulier
Le dénombrement des intersections des diagonales
du polygone quelconque à n côtés est simple.
Il s'agit des combinaisons de 4 parmi n. Mais, pour le polygone régulier, il peut arriver que
trois diagonales ou plus se rencontrent en un point intérieur. Alors, quelle
est la formule de calcul et quelle est la table des valeurs ? Pas simple ! |
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Sommaire de cette page >>> Approche avec 4, 5 et 6 côtés >>> Cas de l'octogone >>> Dénombrement (Table) |
Débutants Glossaire |
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Quadrilatère Avec ses deux
diagonales, la quantité d'intersections dans le quadrilatère se limite
toujours à 1, qu'il soit quelconque ou particulier. Pentagone, hexagone et heptagone Avec ses cinq
diagonales, la quantité d'intersections dans le pentagone est toujours 5,
qu'il soit quelconque ou régulier. Pour l'hexagone, on en
compte 15, et 35 pour l'heptagone, qu'ils soient réguliers ou non. Formule Quel que soit le
polygone à n côtés, la quantité d'intersections est au plus égale
à la combinaison de 4 parmi n.
Valeurs à partir de 3 côtés 0, 1, 5, 15, 35, 70, 126,
210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, 3876, 4845, … |
Quadrilatère : 1
Pentagone = 5
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Hexagone: 15
Dans le cas de l'hexagone
régulier, les trois points du
cercle vert sont confondus et la quantité d'intersections passe à 15 – 2 =
13. |
Heptagone: 35
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Dans le cas général où des trois diagonales
n'ont pas de point d'intersection commun (polygone quelconque), on peut
calculer comme suit: Choisissons quatre sommets: A, B, C et
D, dans l'ordre. Il y a une seule intersection entre AB et CD. Ceci étant valable pour tout choix de 4 sommets, le nombre
de points d'intersection est donc la quantité de combinaisons de 4 sommets parmi tous les sommets du
polygone. |
Exemple
pour n = 7
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Octogone quelconque Avec un peu de patience,
on dénombre 70 points d'intersection. |
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Octogone régulier Certaines diagonales se
rencontrent au même endroit (cas des points rouges). On compte: 1 + 8 = 9
intersections. Sur la couronne, il a 8 × 4 = 32 des points blancs. Et, en intermédiaire, 8
points verts. Total: 9 + 32 + 8
= 49 points
d'intersection dans un octogone. |
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Voir Accès
à chacun des polygones / Brève
62-1129
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Légende du tableau Chacune des lignes se
réfère à un polygone à n côtés. D désigne la quantité de
diagonales. Iq est la quantité
maximale d'intersections du polygone quelconque. Ir, la quantité pour un polygone régulier. R rappelle la quantité
de régions dans le polygone régulier. Note Le calcul du nombre d'intersection dans le polygone
régulier est délicat. La formulation encore plus. Voir les articles cités in
fine. Les valeurs données dans cette table sont
extraites de cet article. |
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Intersections dans le polygone régulier + SOMMETS |
1, 2, 3, 5, 10, 19, 42, 57,
135, 171, 341, 313, 728, 771, 1380, 1393, 2397, 1855, 3895, 3861, 6006, 5963,
8878, 7321, 12675, 12507, 17577, 17277, 23780, 16831, 31496, 30945, 40953,
40291, 52395, 47017, 66082, 65019, 82290, 80921, 101311, 84883, 123453,
121485, … OEIS A007569 |
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Voir Nombres 49 / 161 / 301 / 333
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