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CARRÉS MAGIQUES de B.Franklin d'ordres 4, 8 et 16 Le
fameux carré magique d'ordre 8 de Benjamin Franklin a
été publié en 1769 à Londres: Letters
and papers on Philosophical subjects by Benjamin Franklin. Il écrit de
Philadelphie à Peter Collinson à Londres. Il annonce un curiosité
arithmétique (I now send you the arithmetical curiosity …). Franklin
se serait inspiré d'un livre sur les carrés magiques écrit par Frenicle de Bessy (1605-1675): Des
Quarrez magiques. Les
"carrés magiques" de Franklin sont particuliers: dotés
d'innombrables propriétés au prix du remplacement des diagonales des semi-diagonales. |
Benjamin Franklin is on $100 dollar
bill.
Le billet de 100 dollars est la plus
grosse coupure américaine. Franklin y figure sans avoir été Président.
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I had amused myself in making these kind of magic squares, and, at
length had acquired such a knack at it, that I could fill the cells of any
magic square of reasonable size with a series of numbers as fast as I could
write them, disposed in such manner that the sums of every row, horizontal,
perpendicular or diagonal, should be equal; but not being satisfied with
these, which I looked on as common and easy things, I had imposed on myself
more difficult tasks, and succeeded in making other magic squares with a
variety of properties, and much more curious. |
Je me suis amusé à réaliser cette
sorte de carrés magiques, et, à la longue, j'ai acquis un tel savoir-faire
que je pouvais remplir les cellules de n'importe quel carré magique de taille
raisonnable avec une série de nombres aussi rapidement que je pouvais les
écrire, rangés de telle sorte que la somme des rangées, horizontales,
perpendiculaires ou diagonales soit constante; mais, n'en étant pas
satisfait, car je les considérais comme choses communes et faciles, je me
suis imposé des tâches plus difficiles et j'ai réussi à faire d'autres carrés
magiques possédant diverses propriétés, et encore plus de singularités. |
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Voir Anglais
/ Biographie de Franklin
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Présentation Le carré est un carré magique
inhabituel
Notez la disposition des nombres en
zigzags, en serpentin
D'autres
présentations existent, mais ce ne sont que des variantes par permutations. Sommes particulières
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Astuce
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Sur tableur, facilitez-vous la vie en
copiant quatre fois le carré magique. Vous obtenez un carré de 8x8 (illustration) simulant les enroulements cylindriques. Une autre manière de voir, utilisée
comme image par Franklin: copiez quatre fois le carré magique. Avec un
carton, ajourez la forme désirée (ici un carré 4x4). Vérifiez que vous
obtenez bien la même somme dans la fenêtre en déplaçant le carton. |
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– La magie du carré de Franklin |
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Le carré de Franklin comporte 96 telles
semi-pandiagonales magiques (ou diagonales pliées ou bent row en anglais).
Type de somme en bleu et toutes les sommes par translation de cette figure en
jaune. |
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Type 1 52
+ 3 + 5 + 54 + 43 + 28 + 30 + 45 = 260 4 + 51 + 61 + 38 + 27 + 44 + 14 + 61 = 260 20
+ … 36
+ … Cela 8 fois par translation d'un cran vers le bas. |
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Type 2 11
+ 60 + 62 + 13 + 20 + 35 + 37 + 22 = 260 59
+ … 43
+ … 27
+ … Cela 8 fois par translation d'un cran
vers le bas. |
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Type 3 52
+ 3 + 5 + 54 + 10 + 57 + 63 + 16 = 260 55
+ 8 +
2 + 49 + 13 + 62 + 60 + 11 = 260 Cela 8 fois par translation d'un cran
vers la droite. |
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Type 4 13
+ 62 + 60 + 11 + 55 + 8 + 2 + 49 = 260 10
+ 57 + 63 + 16 + 53 + 3 + 5 + 54 = 260 Cela 8 fois par translation d'un cran
vers la gauche. |
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Le carré est
décomposé en deux carrés:
Cette
présentation donne le "spectre" du carré et permet de reconnaitre
la méthode de construction. Les deux
carrés forment bien un carré gréco-latin: aucun
couple de deux nombres ne se répète. Il a cependant une particularité:
On remarque
immédiatement la disposition en serpentin vertical pour le premier et
horizontal pour le second. Cependant, comme pour tout carré magique d'ordre
pair, il y a des exceptions (exemples avec les ronds bleus). |
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Le carré
semi-panmagique d'ordre 4 présente les mêmes propriétés que son grand frère
d'ordre 8.
et aussi
toute suite de 4 nombres (avec enroulement comme 8 + 9 + 12 + 5 = 34
et aussi
toute suite de 4 nombres (avec enroulement comme 14 + 11 + 4 + 5 = 34
Sa
décomposition en deux matrices quotients et restes montre sa structure
interne et le principe de sa construction. Notez la présence du 4 dans la
matrice quotient. Le graphe
rouge et bleu montre la succession des nombres dans le carré magique. L'ordre
de prise en compte des lignes est montré en vert. Notez la belle symétrie. Les autres
carrés de Franklin présentent exactement la même allure de graphe. Note:
contrairement à la structure gréco-latine, cette représentation en serpentin
ne souffre d'aucune exception. Voir Carrés gréco-latins à échelle alternée |
Carré 4x4 de Franklin
Matrices quotients et restes
Graphe montrant la succession
des nombres Carré 4x4 complet et carré 8x8, ligne du bas
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Voir Carré d'ordre 4
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Carré semi-panmagique 16 x 16
de Benjamin Franklin
Toutes les
propriétés du carré de B. Franklin Tous les
carrés 4x4 somment également en 2056. Il y en a 16 x 16. Tous les
carrés 2x2 somment 514 = 2056 / 4. Il y en a 16 x 16. Je laisse le soin aux lecteurs de trouver de nombreuses autres
configurations magiques. Structure quotients et restes
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Homme politique, publiciste et
physicien américain Né à Boston. Quinzième enfant et
dernier d'un marchand de chandelles et de savon. Encouragé à devenir pasteur, se
retrouve imprimeur. Chercheur, passionné des phénomènes
électriques. Il a été reçu par la Société Royale de Londres et par l'Académie
des sciences de Paris. Inventeur de génie: le paratonnerre en
1752, l'harmonica de verre, les lentilles bifocales, etc. Passionné de jeux, notamment les carrés magiques. Contribue à la vie publique en
Amérique: première bibliothèques publiques, premiers hôpitaux, premières
brigades de pompiers volontaires; actions pour l'abolition de l'esclavage En 1774, il devient député du premier
Congrès des États-Unis. En 1176, B. Franklin, Thomas Jefferson,
John Adams et deux autres personnes (Comité des Cinq) rédigent le manifeste
de la Déclaration d'Indépendance des États-Unis. Il est missionné par George Washington,
chef des insurgés et futur président, pour obtenir l'appui des pays européens
hostiles à l'Angleterre, dont la France. En 1776 (70 ans), il arrive en France
et attire la sympathie notamment du fait de sa bonhommie et de son look:
habit de velours et toque de trappeur. Il arrive à convaincre bon nombre de
volontaires dont le marquis de La Fayette. En 1778, traité d'alliance avec Louis
XVI. La participation française à la guerre d'indépendance des États-Unis fut
décisive. B. Franklin passe huit ans en France et
à sa mort en 1790, la France décrète un deuil national de trois jours. |
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L'odeur du poisson et des visiteurs
reste trois jours. B. Franklin – Poor Richard Almanach. |
Voir Pensées & humour
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