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SUITE
GÉOMÉTRIQUE Exemples
de calculs Un
florilège d'exemples de calculs avec les suites et séries
géométriques. |
Anglais: Geometric progression, common ratio (=
raison)
Retour: Suite géométrique
Voir Moyenne géométrique / / Suite et Série
Rappel
de la formule fondamentale
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S:
somme de la série; a:
son premier terme; q:
la raison (le coefficient multiplicateur); et n:
la dernière puissance utilisée (de 0 à
n) pour n + 1 termes dans la série. |
Exemple 5 + 15 + 45 + 135 =
200 Paramètres a = 5, q = 3, n = 3 (mais,
avec quatre termes) Calcul
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Une PG de 6 termes 5, a, b,
c, d, 160 Raison et termes intermédiaires? |
Équation 160 = 5 q5 q = (160/5)1/5 = 321/5 = 2 Solution 5, 10, 20, 40, 80, 160 |
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Une PG de 5 termes 2/3, -1,
3/2 Raison somme? |
Raison q = (–1) / (1/3 = –3/2 Somme
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Calcul de S
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Somme des inverses des carrés de 2 Pour k tendant vers l'infini la limite
de la somme est égale à 2. |
Exemple
avec n = 4 S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 31 / 16 = 1,9375 S = 2 (1 - 1
/ 32) = 2 (31 / 32) = 31 / 16 Notation
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Voir PG -
Exemples
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Trois nombres en PG dont la somme vaut
19 et le produit 216. Trouvez ces nombres. Indice: une
astuce de notation simplifie grandement le calcul. |
On note la PG à partir du terme
central: a/q, a et a.q Alors, le produit devient: P = a3 = 216 a = 6 Et, la somme 6/q + 6 + 6q = 19 6 + 6q + 6q² = 19q 6q² – 13q + 6 = 0 q1 = 3/2 et q2 = 2/3 Les nombres 4, 6 et 9 |
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La somme de cette PG infinie est 15 et
la somme des carrés est égale à 45. Quelle est cette série? Les
deux PG Somme
des nombres avec a au départ et une raison r. Somme des carrés avec a² au
départ et raison r². Chaque terme de cette série et le carré de ceux de la
précédente. Les
termes de la série
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Sommes
infinies
Division
de l'une par l'autre
Valeur
de la raison r 1 + r = 5 –
5r => r = 2/3 Série a = 15 – 15r
=> a = 5
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Somme des inverses des puissances de 3 pondérées
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Ne pas confondre les deux types de
séries; arithmétique et géométrique. Notamment lors de l'emploi de
logiciels. Ne pas utiliser l'instruction somme
pour une progression géométrique. |
Exemple Sa = 2 + 4 + 6 +
8 + … PA (r = 2) Sg = 2 + 4 + 8 + 16 + … PG (q = 2) Formules
de calcul
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D = 0,4232323… |
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Écriture fractionnaire |
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Série géométrique
infinie de raison q = 1/10² |
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Notez
que: |
419 = 423 – 4 99 et 23:
même quantité de chiffres 0 et 4: idem |
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Somme mixte |
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Calculs |
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PG
(g = 1/5) |
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Exemple |
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PG
(a, b, c, d) |
(d – a)² = (d – b)² + (b – c)² + (c – a)² Théorème Il est toujours possible de créer une carré somme de trois carrés
avec quatre nombres en progression géométrique. Démonstration Avec b = a.g,
c = a.g2 et d = a.g3 (d – b)² + (b –
c)² + (c – a)² = a2g6
– 2a2g4 + a2g2 + a2g4 – 2a2g3
+ a2g2 + a2g4 – 2a2g2 + a2 = a2g6
– 2a2g3 + a2 = (a.g3
– a)² = (d – a)2 |
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Exemple |
PG
(1, 2, 4, 8) (8
– 1)² = (4 – 2)² + (4 – 1)² + (8 – 2)² = 2² + 3² + 6² = (8 – 1)² = 7² 2² + 3² + 6² = 7² |
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Table |
PG 1, 2, 4, 8 1, 3, 9, 27 1, 4, 16, 64 1, 5, 25, 125 1, 6, 36, 216 1, 7, 49, 343 1, 8, 64, 512 1, 9, 81, 729 1, 10, 100, 1000 |
Termes de l'égalité 2, 3, 6, 7 6, 8, 24, 26 12, 15, 60, 63 20, 24, 120, 124 30, 35, 210, 215 42, 48, 336, 342 56, 63, 504, 511 72, 80, 720, 728 90, 99, 990, 999 |
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Voir Sommes de carrés
– Formules / Carrés – Index
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