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CARRÉS – Chiffres finaux Quels sont
les seuls chiffres possibles à la fin des carrés? Nous nous
intéressons particulièrement à la répétition de chiffres finaux. Eh bien, ils
ne se répètent pratiquement jamais! (Sauf avec 0). Notations
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Un nombre au carré Le nombre n
peut s'écrire: Son carré
devient:
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Carré avec deux chiffres finaux identiques (hors
00) Ce nombre s'écrit:
Une recherche
systématique montre que la seule possibilité est 11x = 44 avec quatre
possibilités pour "du": {12, 38, 62, 88}. |
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Exemples
Si un carré
se termine par deux chiffres identiques, ce sont 00 ou 44 et, pour 44,
les dizaines-unités du nombre sont {12, 38, 62 ou 88}. Voir Nombre 44 On trouve cette énigme
sur Internet: Est-il possible que le carré d’un nombre entier se termine par
deux fois le même chiffre impair ? La réponse est donc: non! Repdigit carré Autre question: existe-t-il
un carré formé que des chiffres 4 (repdigit) autre que 4. La réponse est non.
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Le
tableau montre qu'un carré divisé par: 2 => quotient entier ou nombre en x,5 3 => quotient entier ou nombre en x,333… 4 => quotient entier ou nombre en x,25 5 => quotient entier ou nombre en x,2 ou x,8 Exprimons cela sous forme du reste de la
division (aussi appelé mod) |
Division des carrés par 2, 3, 4 ou 5
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Restes
de la division par k des carrés 2, {0, 1} 3, {0, 1} 4, {0, 1} 5, {0, 1, 4} 6, {0, 1, 3, 4} 7, {0, 1, 2, 4} 8, {0, 1, 4} 9, {0, 1, 4, 7} 10, {0, 1, 4, 5, 6, 9} 11, {1, 3, 4, 5, 9} 12, {0, 1, 4, 9} 13, {1, 3, 4, 9, 10, 12} 14, {1, 2, 4, 7, 8, 9,
11} 15, {1, 4, 6, 9, 10} 16, {0, 1, 4, 9} 17, {1, 2, 4, 8, 9, 13,
15, 16} 18, {0, 1, 4, 7, 9, 10,
13, 16} 19, {1, 4, 5, 6, 7, 9,
11, 16, 17} 20, {0, 1, 4, 5, 9, 16} |
Table des carrés mod k (restes de la division par k)
Ex: 3² = 9 = 1 x
5 + 4 => 4 mod 5 ou 3² = 9 = 1 x 6 + 3 => 3 mod 6 |
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Dizaines Isolons la dizaine et l'unité du nombre Le carré possède une structure
en deux termes dont le premier (100K) est terminé
par deux zéro. Si bien
que, seul le terme h² détermine les unités et dizaines du carré. |
N = 100 k + h avec h
= et
h2 = C = 10 000 k² + 100 x
2kh + h2 = 100 (100k² +2kh) + h² = 100 K
+ h² |
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Tout
nombre de mêmes unités et dizaines a un carré de mêmes (autres) unités et dizaines. De plus, Le DU du carré est égal au du du
nombre élevé au carré dont on ne conserve que les deux derniers chiffres.
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Exemples
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Centaines Isolons la
centaine, la dizaine et l'unité du nombre et formons
son carré. Le carré possède une structure
en deux termes dont le premier (1000P) est terminé par trois zéro. Si bien que, seul le terme n² détermine les unités, dizaines et
centaines du carré. |
N = 1000 m + n avec n
= et
n2 = C = 106 m² +
103 x 2mn + n2 = 1000 (104 m2 +2mn) + n² = 1000 P
+ n² |
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Tout
nombre de mêmes unités, dizaines et centaines a un carré
de mêmes (autres) unités, dizaines et centaines. De plus, Le CDU
du carré est égal au Cdu du nombre
élevé au carré dont on ne conserve que les trois derniers chiffres.
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Exemples
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D'une manière générale, des nombres qui ont les mêmes n derniers chiffres ont des carrés
qui ont les mêmes (autres) n
derniers chiffres. En effet: (10n a + b)² = 10n
k + b² Cette propriété est vraie pour les cubes et toutes
les puissances supérieures. En effet: (10n a + b)m
= 10n k + bm
Ex:1235 = 28153056843; 51235 = 3528757217069081843. |
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Tout nombre
dont l'unité est 0 a un carré qui se termine par 0. |
UC = 0 |
02 = 0; 202 = 400 102 = 100; 2102 = 44 100 |
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Bilan Tout carré terminé par 0 a un nombre pair de 0. (…0)2 = …00 Un carré peut comporter de nombreux zéros, mais en quantité paire. (…0…0 n zéros)2 = …0…..0 2n zéros |
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Tout nombre
dont l'unité est 1 ou 9 a un carré qui se termine par 1. |
UC = 1 |
1² = 1; 9² = 81 11² = 121; 19² = 361 |
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La propriété
générale en action: voyons tous les nombres inférieurs à 100 et terminés par
1 ou 9. |
Chiffres des dizaines
relevés dans les tableaux: D = {0, 2, 4, 6, 8} D est pair et, en aucun cas le
chiffre 1. |
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Bilan Il n'existe aucun carré terminé par plus d'un seul 1. n² = …11 n'existe pas Les carrés terminés par un 1 sont
suivis d'une dizaine paire. (…1)2 = … |
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Tout nombre
dont l'unité est 2 ou 8 a un carré qui se termine par 4. |
UC = 4 |
2² = 4; 8² = 64 12² = 144; 18² = 324 |
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La propriété
générale en action: voyons tous les nombres inférieurs à 100 et terminés par
2 ou 8. |
Chiffres des dizaines
relevés dans les tableaux: D = {0, 2, 4, 6, 8} D est pair et, en particulier 4
pour 12, 62, 38, 88. |
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Propriété
générale appliquée aux centaines dans les quatre cas identifiés ci-dessus. |
Seuls cas avec 444: 38, 538, 462 et 962. Tous les nombres en …38, …538, …462 et …962 sont eux aussi terminés
par 444. |
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Bilan Il existe quatre types de carrés terminés par …444. Il n'existe pas de carrés qui se terminent par plus de trois quatre. Les carrés terminés par un 4 sont
suivis d'une dizaine paire. (…4)2 = … |
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Pourquoi pas plus de trois 4 à la fin d'un
carré ?
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Si N est un nombre carré alors ses
facteurs sont carrés. Le premier (4) est carré. Est-il possible que (2 500 x
A + 1111) soit aussi un carré ? Non ! Car un carré ne se termine jamais
par 11. |
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Tout nombre
dont l'unité est 3 ou 7 a un carré qui se termine par 9. |
UC = 9 |
3² = 9; 7² = 49 13² = 169; 17² = 289 |
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La propriété
générale en action: voyons tous les nombres inférieurs à 100 et terminés par
3 ou 7. |
Chiffres des dizaines
relevés dans les tableaux: D = {0, 2, 4, 6, 8} D est pair et, en aucun
cas le chiffre 9. |
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Bilan Il n'existe aucun carré terminé par plus d'un seul 9. n² = …99 n'existe pas Les carrés terminés par un 9 sont
suivis d'une dizaine paire. (…9)2
= … |
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Tout nombre
dont l'unité est 5 a un carré qui se termine par 5. |
UC = 5 |
5² = 25; 115² = 13 225 15² = 225; 1115² = 1 243 225 |
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La propriété
générale en action: voyons tous les nombres inférieurs à 100 et terminés par
5. |
Tous ces carrés sont
terminés par 25. |
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Bilan Il n'existe aucun carré terminé par plus d'un seul 5. n² = …55 n'existe pas Les carrés terminés par un 5 sont
terminés par 25. (…5)2
= … Trois
derniers chiffres des nombres en 5 Les
puissances des nombres terminés par 5 présentent des motifs répétitifs sur
les chiffres des unités, des centaines et desmilliers:
Voir Nombre
25 / nombre
55 / Cas du
nombre 51 |
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Tout nombre
dont l'unité est 4 ou 6 a un carré qui se termine par 6. |
UC = 6 |
4² = 16; 6² = 36 14² = 196; 16² = 256 |
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La propriété
générale en action: voyons tous les nombres inférieurs à 100 et terminés par
4 ou 6. |
Chiffres des dizaines
relevés dans les tableaux: D = {1, 3, 5, 7, 9} D est impair et, en
aucun cas le chiffre 6. |
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Bilan Il n'existe aucun carré terminé par plus d'un seul 6. n² = …66 n'existe pas Les carrés terminés par un 6 sont
suivis d'une dizaine impaire. (…6)2
= … |
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Terminaison
des carrés
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Voir |
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