NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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ITÉRATIONS

 

Débutants

Général

TRIANGLE de PASCAL

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Itérations

 

Approche

Formules

Propriétés

Historique

Triangle

Valeurs

Fractal

Puissance 11

Angle en Pi / n

Binôme

Divisibilité

 

Sommaire de cette page

>>> Pi est dans ce triangle !

>>> Formation du triangle

>>> Somme des entiers

>>> Somme des lignes

>>> Combinaisons

>>> Nombres de Catalan

>>> Nombres triangles

>>> Divisibilité

 

 

>>> Nombres de Fibonacci

>>> Progressions

>>> Produits dans le triangle de Pascal

>>> Triangle de Leibniz

>>> Fréquence

 

 

 

 

 

 

TRIANGLE DE PASCAL

 

Propriétés

 

Observons les propriétés des lignes colonnes ou diagonales.

 

 

Curiosité: Pi est dans ce triangle !

haut

 

 

 

 

Formation du triangle

 

Combinaisons

Chaque entrée du triangle de Pascal donne la quantité de combinaisons de p parmi n. C'est aussi la somme du nombre situé au-dessus à gauche et de celui situé au-dessus dans la même colonne, ce qui se traduit par la formule:

 

 

Conséquence

Avec cette disposition, chaque nombre est la somme de tous les nombres de la colonne de gauche. En effet, par exemple, 15 = 5 + 10 et 10 = 4 + 6 et 6 = …

À noter, la somme des nombres sur une ligne est la puissance de 2 du nombre en deuxième colonne (numéro de la ligne).

 

 

 

Somme des entiers

 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

1

3

6

10

15

21

28

36

 

 

 

*      La 2e ligne du tableau donne la somme des n entiers jusqu'au rang considéré n.

*      Ce sont les nombres triangles

 

Exemple:

Colonne n = 7

28 = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +  1

 

 

 

 

Somme des lignes

 

La somme des coefficients de la ligne n donne 2n.

 

n = 5

1

5

10

10

5

1

 

 

32

= 25

n = 6

1

6

15

20

15

6

1

 

64

= 26

n = 7

1

7

21

35

35

21

7

1

128

= 27

 

 

La somme de un sur deux des coefficients de la ligne n donne 2n - 1.

 

n = 5

1

10

5

 

 

16

= 24

n = 6

1

15

15

1

 

32

= 25

n = 7

1

21

35

7

64

= 26

n = 5

5

10

1

 

16

= 24

n = 6

 

6

 

20

 

6

 

 

32

= 25

n = 7

 

7

 

35

 

21

 

1

64

= 26

 

 

Voir  Démonstration / Puissance de 2 / Pascal et Fibonacci / Brève 570

 

 

Combinaisons

 

*      Les nombres du triangle de Pascal représente les diverses combinaisons de p objets pris parmi un ensemble de n objets.

 

*      Une combinaison est un tirage une fois pour toute de n objets dans le désordre. Exemple typique le Loto.

 

Exemple:

 

*      Ce qui veut dire qu'il y a 10 possibilités de tirer 2 objets parmi 5.          Illustration =>

 

1      A  B       

2     A     C    

3     A        D 

4     A           E

5        B  C    

6        B     D 

7        B        E

8           C  D 

9           C     E

10              D  E

 

Voir Combinaisons / Factorielle

 

 

Nombres de Catalan

 

*      Les éléments centraux (en gras dans le tableau) donnent le nombre de combinaisons de n éléments parmi 2n:

 

*      Divisé par n+1, ces nombres sont appelés nombres de Catalan et, ils donnent le nombre de manières d'arranger des parenthèses, des exposants de puissance, des triangles dans un polygone, etc.

 

 Suite en  Nombres de Catalan

   

  

Nombres triangles...

 

*      Les colonnes (version triangle rectangle) ou les diagonales (version triangle isocèle) donnent successivement les nombres

*           unité,

*           naturels,

*           triangle,

*           tétraédraux,

*           etc.

*      Ce sont tous les nombres géométriques

 

 

0

1

2

3

4

1

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

2

1

 

 

1

3

3

1

 

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

6

15

20

15

1

7

21

35

35

1

8

28

56

70

1

9

36

84

126

1

10

45

120

210

Unité

Naturel

Triangle

Hexagonal

Tétraédriques

Pentatope

 

 

*      Un nombre est la somme de tous ceux qui sont au-dessus, sur la colonne précédente (à gauche).
Exemple: 6 (colonne 2) = 3 + 2 + 1 (colonne 1)

 

*      Triangle: empilement de pions dans un triangle (en deux dimensions).

 

*      Tétraédriques: empilement des boulets de canons sur une pyramide à base triangulaire (en trois dimensions)..

 

*      Pentatope: équivalent aux tétraédriques, mais en dimension quatre.

 

 

 

 

 

Divisibilité

 

Théorème remarquable

 

Cette propriété est à la base du Petit théorème de Fermat 

 

Les nombres des lignes où n est premier, sont divisibles par n, sauf les extrémités.

 

 

n = 3

1

3

3

1

 

 

 

 

n= 3, premier

coefficients divisibles

n = 4

1

4

6

4

1

 

 

 

 

n = 5

1

5

10

10

5

1

 

 

n= 5, premier

coefficients divisibles

n = 6

1

6

15

20

15

6

1

 

 

n = 7

1

7

21

35

35

21

7

1

n= 7, premier

coefficients divisibles

 

Voir Suite et démonstration

 

 

 

Nombres de Fibonacci:

 

Les diagonales sous-jacentes ont pour somme la suite de Fibonacci.

 

 

 

Voir Triangle de Pascal et nombres de Fibonacci / Brève 570

 

 

Progressions

 

*      Il existe une infinité de triplets en progression arithmétique:

 

           7                   21                     35

     1001               2002                  3003

490314            817190            1144066

 

*      Il n'y a pas de triplets en progression géométrique ou harmonique.

 

 

 

Fractions égyptiennes

 

*      On peut former les fractions égyptiennes (1/n)
avec les coefficients (en gras) du triangle de Pascal:

 

 

1/2

1/3

1/4

1/5

1

= 1/1

1

- 1

x 1/2

= 1/2

1

- 2

x 1/2

+ 1

x 1/3

= 1/3

1

- 3

x 1/2

+ 3

x 1/3

- 1

x 1/4

= 1/4

1

- 4

x 1/2

+ 6

x 1/3

- 4

x 1/4

+1

x 1/5

= 1/5

 

 

 

  

Produits dans le triangle de Pascal

haut

 

 

 

Relation

 

La relation à prouver s'écrit comme indiqué à droite

Pour la prouver, revenons à la formulation factorielle des coefficients du binôme:

 

 

 

Formulation factorielle

 

Le produit au numérateur est identique à gauche comme à droite.

Pour le produit au dénominateur, les couleurs distinguent les facteurs. Tous ceux de gauche se trouvent également à droite.

Il y a bien égalité !

 

Notations

Relation à prouver

 
 

 

Développement de cette relation

 

Voir Brève 50-982

 

 

 

Triangle de Leibniz

 

*      Il existe une relation entre le triangle de Pascal et celui de Leibniz (triangle harmonique).

 

 

 

 

 

 

1/1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

1/2

 

 

 

 

 

 

 

1/3

 

1/6

 

1/3

 

 

 

 

 

1/4

 

1/12

 

1/12

 

1/4

 

 

 

1/5

 

1/20

 

1/30

 

1/20

 

1/5

 

1/6

 

1/30

 

1/60

 

1/60

 

1/30

 

1/6

 

*      Chaque terme est la somme des deux du dessous
Chaque terme est égal à la fraction initiale à gauche, divisée par les coefficients du triangle de Pascal.

 

 

Exemple pour 1/4

 

Pascal

1

3

3

1

1/4 de Pascal

1/(4x1)

1/(4x3)

1/(4x3)

1/(4x1)

= Leibniz

= 1/4

= 1/12

= 1/12

= 1/4

 

 

 

 

Fréquence

 

*      Le nombre 120 est le plus petit nombre apparaissant 6 fois dans le triangle de Pascal.

 

*      Le nombre 3003 est le plus petit nombre apparaissant 8 fois dans le triangle de Pascal.
Position du 8 dans le triangle:

14 - 6

14 - 8

15 - 5

15 - 10

78 - 2

78 - 76

3 003 - 1

3 003 - 3 002

 

*      Aucun autre nombre inférieur à 223 n'apparaît aussi souvent.

David W. Wilson

 

Nombres qui apparaissent plus de quatre fois dans le triangle de Pascal:

1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, 61218182743304701891431482520,  … OEIS A003015

 

Note: les cas triviaux sont comptés

Exemple: six fois pour 210 dont 2 triviaux

 

 

Conjecture de Singmaster (1938-2023)

Le grand nombre d'apparitions d'un nombre dans le triangle de Pascal connu actuellement est 8 et il est obtenu pour le nombre 3 003: N(3 003) = 8.

Singmaster, un mathématicien américain, se pose la question: existe-t-il une borne pour N(t) telle que N(t) est toujours inférieur à M ?

Il a démontré qu'il existe une constante k telle que N(t) > k ln(t).

En 2021, lors d'un travail collaboratif, Terence Tao a amélioré ce résultat.

 

Voir Tables des nombres du triangle de Pascal / Conjectures

 

 

 

 

 

Suite

*    Triangle de Pascal – Historique

*    Combinaisons – Toutes les formules

*    Les nombres de Pascal concaténés

*    Triangle de Pascal et relation de Fermat

*    Pascal – Biographie

Voir

*    Combinaisons

*    Formule du binôme

*    Petit théorème de Fermat

Aussi

*    Géométrie – Index

*    Récurrence

*    Théorie des nombres

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