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NOMBRE D'OR en bref Ce qui est essentiel à savoir Tour d'horizon en commençant par
approcher le nombre d'or par la construction du rectangle d'or et en
finissant par un édifice, le Parthénon, dont les dimensions sont sensées
démontrer le nombre d'or. |
Notation
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Nombre d'or ou divine proportion Inverse et carré: mêmes décimales
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Voir Nombre
1,618… / Nombre 2,4142… / Nombre 3,1415… / Brève 527 / Constante Pi
/ Nombre
d'argent
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Étapes de construction 1)
Je construis un carré ABCD de 10 carreaux de côté. 2)
Je positionne le
point milieu M, en bas. 3)
Je dessine un cercle de centre M et de rayon MB; il coupe la droite
DC en F. 4)
Le rectangle ABEF est
un rectangle d'or.
Mesures et conclusions Je mesure le grand côté DF: 16,2
carreaux Le rapport (ou le quotient) entre les mesures de
la longueur et de la largueur est
Si je calcule le rapport pour le
rectangle BEFC, je trouve
Soit, à peu près la même valeur. Ce nouveau rectangle BEFC est aussi un
rectangle d'or. Valeur exacte du nombre
d'or Le triangle BCM est rectangle, je peux lui
appliquer le théorème de Pythagore:
Cette valeur confirme les mesures
effectuées sur les deux rectangles. |
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Le nombre d'or, aussi appelé divine proportion,
est justement défini par une proportion. Un segment est coupé en deux selon la
divine proportion si: "le long est au moyen ce que le moyen est
au petit". |
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Cette proportion se prête à un calcul. En se rappelant que A = B + C. |
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En prenant la forme linéaire. |
B² = (B + C) x C = BC + C² |
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Soit une équation du second degré. En choisissant C = 1. |
B² - BC – 1 = 0 |
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Sa résolution donne deux valeurs pour
B. En fait, le nombre d'or (noté phi majuscule). |
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Voir Résolution d'un équation étonnante
dont la racine est le nombre d'or
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En
géométrie, nous avons construit le rectangle
d'or. En fait, le nombre d'or est roi dans le pentagone
où il se niche quel que soit le pentagone pourvu qu'il soit régulier. La longueur de la diagonale d'un pentagone
régulier de côté unité est égale au nombre d'or. C'est le cas pour les cinq diagonales:
AC, AD, BE, BD et CE. Note: si vous calculer la valeur du cosinus avec votre calculette, assurez-vous que
vous êtes bien en position: radians (Pi/5
radian = 36°).. |
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En
arithmétique, le nombre d'or est le nombre vers
lequel converge le rapport entre deux nombres successifs de la suite de Fibonacci. Cette suite de nombres est rencontrée
couramment dans la structure des végétaux (phyllotaxie) |
Suite de Fibonacci: 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21 … Chaque nombre est la somme des
deux précédents. Déjà avec 21/13 on trouve: 1,615 Avec de plus grands nombres comme
233/144, on
trouve: 1,6180 … C'est d'ailleurs une bonne approximation de Phi, facile
à retenir. |
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Curiosité
avec les puissances Le nombre d'or au
carré conserve ses décimales. C'est le cas également pour l'inverse
du nombre d'or. 0,618 … / 1,618… /
2,618… |
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Curiosité
avec les fractions Le nombre d'or est égal à une fraction
à étage qui se prolongerait sans fin. Ces drôles de fractions (fractions
continues) reproduisent les nombres de Fibonacci au numérateur et au
dénominateur. |
Etc. |
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Construction
géométrique La diagonale du rectangle (2, 1) mesure
racine de 5 (Pythagore). Elle est prolongée d'une unité à l'aide
d'un arc de cercle: segment rouge. Puis divisé par 2. Le segment bleu
mesure exactement Phi. |
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Dans la
vie courante: le format de la carte de
crédit est un rectangle d'or. En revanche, le format du papier A4 est dans un rapport racine de 2 =
1,414… >>>
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Architecture
moderne: Le Corbusier (1887-1965) est un architecte
qui a développé toute une théorie autour de l'harmonie du nombre d'or Il a inventé le Modulor qui sera son
abaque pour la construction des habitations. >>> |
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En
botanique Que ce soit au niveau des fleurs ou de la disposition des feuilles
ou des graines (comme celles du tournesol) on retrouve la suite de Fibonacci
et donc le nombre d'or. |
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Conclusion |
S'il est vrai que ce nombre, associé à
la suite de Fibonacci, prend une place remarquable dans note univers, il ne
faut pas trop lui en demander. Nombreux sont ceux qui ont voulu voir
le nombre d'or un peu partout, au prix de considérations parfois oiseuses. |
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Parmi tous les formats rectangulaires
de la vie courante, rares sont ceux qui utilisent le nombre d'or, pas même le
format des toiles à peindre.
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Voir Format
télévision / Format A3-A4 … / Appareils multimédia
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Malgré les proportions imaginées sur le
Parthénon et d'autres édifices de l'Antiquité, il
n'existe aucune preuve que le nombre d'or fut connu à cette époque. |
Seul Euclide (325 – 265 Il faut attendre 1445 pour que Luca di
Borgo reprenne cette proportion et la "divinise". Le titre de son
livre: De divina proportione.
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Fibonacci
(1175-1250) découvre la suite de nombres qui portera son nom et observe le
rapport. Plus les nombres sont grands et plus le rapport se rapproche de la
divine proportion, le nombre d'or. |
Léonard de Vinci (1452-1519)
réfléchit aux proportions idéales du corps humain, basées
sur le nombre d'or qu'il désigne par " sectio aurea " |
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Commence alors un engouement pour ce
nombre.
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C'est Ghyka, un prince roumain, qui
donnera le nom de nombre d'or. Lui aussi, tente de prouver le pouvoir
esthétique de ce nombre |
Le
Corbusier (1946) découvre dans le nombre d'or le secret d'une construction
en série en inventant le Modulor, système de proportions architecturales pour
une harmonie et une plus grande rapidité de construction. |
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Voir Historique complet
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Cet édifice est souvent cité* comme exemple de la
connaissance du nombre d'or chez les Grecs Anciens. L'édifice Temple, dédié à la déesse Athéna, situé
sur l'Acropole d'Athènes en Grèce. Il a été construit il y a environ 2 500
ans, du temps où Périclès a entrepris la reconstruction d'Athènes en ruine
après une attaque des Perses. Il abritait une statue géante d'Athéna
qui fut détruite lors d'une explosion en 1687. En effet, le temple a servi
d'église, puis de mosquée, et même comme dépôt de munitions par les Turcs en
guerre avec l'Italie. Lors des tirs italiens, la poudre en réserve explose et
détruit une grande partie du Parthénon. |
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Parthénon et rectangles
d'or
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Voir Parthénon / Géographie
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