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Méthode d'Euclide Plusieurs méthodes de
construction du pentagone régulier dont celle basée sur la construction d'un triangle isocèle préalable, puis des bissectrices, à
la façon d'Euclide. |
Voir Angle Pi/5 = 36°
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Construction
du triangle isocèle 36-72-72 dit
triangle d'or |
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Un cercle et
deux diamètres perpendiculaires sur AB et AC. Le point D
est le milieu de AC. Cercle de
centre D et de rayon DB. Intersection
en E. Cercle de
centre A et de rayon AE. Intersection
en F. Cercle de
centre B et de rayon AF. Intersection
en G. Triangle 36-72-72: ABG Le triangle d'or est un triangle
isocèle dont l'angle à la base vaut deux fois celui du sommet. Triangle que
l'on trouve dans le tracé du pentagone avec son étoile à cinq branches. Voir Justification |
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Merci à Ysée Briscas
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Euclide propose une méthode dessiner un pentagone
dans un cercle. Il commence par montrer comment tracer un triangle doré dans
le cercle à partir de celui dessiné ci-dessus. Nous passons cette étape. Nous disposons donc du
triangle doré ABC construit selon la méthode indiquée ci-dessus. Construire le point D.
C'est le point de concours des médiatrices des côtés. Cercle de centre D et de
rayon DA. C'est le cercle circonscrit au
triangle ABC. Bissectrices AF et BE
des angles à la base du triangle isocèle ABC. Intersections en E et F Pentagone régulier: ABFCE |
Le triangle
ABC est un triangle d'or Côté: 1, Phi, Phi Angles: 36°, 72°, 72° ou
Pi/5, 2Pi/5, 2Pi/5 |
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Il s'agit de
montrer que la construction proposée par Euclide conduit bien au tracé d'un
triangle doré. Deux étapes:
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Dans son
livre Les Éléments (II 11), Euclide propose une construction qui définit
une égalité remarquable. Elle a trait au nombre d'or, même si ce nom
n'était pas encore connu à l'époque. Construction Carré ABCD de côté 10 et
aire = 100 Le point M est le milieu
de AB. Le but est d'introduire
une racine de 5 en MC Cette longueur MC est
reportée sur la droite AB, créant le point F. La longueur BF est
reportée en BG. La parallèle à AB et celle à BC en F définissent le rectangle
HIFA. L'aire de ce rectangle
et égale à celle du carré de départ. |
Aire ABCD =
Aire HIFA => AB² =
AF.AH Et, en
retirant à chacun ABGH: Aire DCGH
= Aire BFIG => FI² = DC.DH |
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Justification Longueur du segment MC |
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Longueur de AF, l'un des
côtés du rectangle Longueur de IF, l'autre
côté du rectangle |
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Aire du carré (avec a =
1) Aire du rectangle |
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Longueur du segment HF,
diagonale du rectangle |
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Longueur du segment AC,
diagonale du carré |
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Résumé des propriétés de cette figure Aire grand carré = Aire grand rectangle Aire petit carré = Aire petit rectangle Avec carré de côté 1 Diagonale du carré =
rac(2) Diagonale du
rectangle = rac(3) Longueur du segment
vert: rac(5) / 2 Longueur du
rectangle = Phi Larguer du rectangle =
1/ Phi |
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Voir Brève 443
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Euclide
raisonnait en termes d'aires pour comparer des égalités:
Les livres
anglais, américains ou indiens adoptent encore aujourd'hui cette formulation. A rectangle whose
adjacent sides are AB, AD is denoted by the rect. AB,AD; this is
equivalent to the product AB.AD. Notations
utilisées dans le calcul de la puissance d'un
point par rapport à un cercle. |
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Construction dorée (du nombre d'or) On reprend la construction d'Euclide:
Construction du pentagone
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Voir Exposé
de cette construction par Rémy Trotabas / Toutes les méthodes de
construction du pentagone
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Ce qu'il faut démontrer La construction présentée crée bien un triangle isocèle dont l'angle à la
base ets le double de celui du sommet. Démonstration On reprend le début de
construction vue ci-dessus, jusqu'à la construction du
point F. On y retrouve la construction dorée avec le petit carré AFGE et le petit
rectangle FBJI dont les aires sont égales. Alors: |
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On retient les points
AFB de la figure précédente. On trace le point G sur
le cercle vert tel que BG = AF et le cercle qui passe par les trois points A,
F et G. Notre relation: AF² = BA.BF = BG² Cette nouvelle relation montre
que BG est tangent au cercle bleu. Interception de
l'arc FG par l'angle FAG et par l'angle BGF (avec BG tangent) Les points B et G sont
sur le cercle vert: le triangle ABG est isocèle et f = b + c = b + a Triangle AFG: e = 180 – d = 180 – (180 – a – b) = a + b Avec des angles égaux (f
= e), le triangle GFB est isocèle. On a alors GF = GB = AF Avec deux côté égaux (AF
et GF) le triangle FAG est isocèle. Alors: a = b = c L'angle en G (b+c) est bien le double de celui en A (a). Ce que nous
voulions. |
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