Sommes des carrés de nombres successifs

Édition du: 13/12/2025

INDEX

Somme de carrés

Sommes de carrés consécutifs

De 1 à n

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Sommes des carrés

Nombre premier ou composé ?

On s’intéresse à la somme $S de k carrés de nombres entiers consécutifs.$

On cherchera à déterminer si $S peut être un$ nombre premier ou si elle est nécessairement composée selon la configuration choisie.

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Somme de carrés consécutifs

>>> Table des sommes premières

Débutants

Somme

Glossaire

Addition

Formule générale

Somme de k carrés consécutifs

Formule obtenu en utilisant les formules usuelles de la somme des entiers et de la somme des carrés.

Approche		haut
On se propose de calculer cette fraction de manière élégante Avec un calcul littéral, on prolonge la méthode Voir Identités remarquables La méthode littérale offre un calcul plus rapide et surtout, elle montre que la somme de cinq carrés successifs est divisible par 5. La formule trouvée s'applique à toute suite de cinq nombres. 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 5 (3² + 2) = 5 × 11 = 55 8² + 9² + 10² + 11² + 12² = 5 (10² + 2) = 510
Somme de cinq carrés pour n central de 3 à 18 Le tableau présente cinq colonnes: n est le nombre n² est le carré du nombre Σ5 est la somme des cinq carré comme dans l'exemple en jaune est la différence entre sommes sucessves. Elle vaut 10n + 5 Δ2 est la différence seconde: différence en Δ1 successives. L'équation de la "somme-cinq" est quadratique (parabole): S = 5n² + 10 (ce que nous avons trouvé) Sa dérivée première (pente instantanée) est linéaire : 10n; et la variation entre deux sommes successives est 10n + 5 (du fait de la moyenne des pentes entre deux sommes successives). La dérivée seconde est constante et égale à 10.

Somme de carrés consécutifs		haut
Sommes On s’intéresse à la somme $S de k carrés de nombres entiers consécutifs.$ On cherchera à déterminer si $S peut être un$ nombre premier ou si S est nécessairement composée selon la configuration choisie.	Exemple avec k = 5 S = (n–2)² + (n–1)² + n² + (n+1)² + (n+2)² Pour n = 10 8² + 9² + 10² + 11² + 12² = 64 + 81 + 100 + 121 + 144 = 510 = 2 × 3 × 5 × 17
Sommes factorisées La somme brute de k carré est développée puis factorisée. Les sommes de carrés à 4, 5, 7, …termes sont nécessairement des nombres composés. On ne peut trouver des nombres premiers que parmi les sommes de carrés à 2, 3 et 6 termes.

Table des sommes premières		haut
Table des 75 sommes premières de k carrés de nombres successifs à partir de n. Nombres n de 1 à 100 Valeurs de k testée de 2 à 15

Nombres premiers somme de six carrés consécutifs	139, 199, 271, 811, 1279, 1459, 2539, 2791, 3331, 3919, 4231, 7159, 8011, 9859, 15319, 17191, 17839, 20551, 24979, 25759, 41851, 42859, 48079, 58231, 59419, 65539, 68071, 74611, 88591, 102199, 125299, 132331, 143239, 154579, 156511, 166351, 170371, 172399, 243631, 276079, 281251, 289099, 294391, … OEIS A027867 - Primes of the form n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + (n+4)^2 + (n+5)^2. Also: Primes of form 55 + 30n + 6n^2

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