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Édition du: 01/12/2025 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Algèbre Calculs Défis	Calculs algébriques
	Équations	Polynômes	Bac2018 n°4 N …	P8 = f(P4)
		sin (Pi / 10)		P1 = f(P2, P3)

Calculs avec carrés et cubes Exercice nécessitant la connaissance des identités remarquables et l'idée de vérifier la validité des solutions.
	Sommaire de cette page >>> Carré et cube >>> Résolution >>> Vérification – Validité >>> Solution en a et b	Débutants Algèbre Glossaire Algèbre

Outils utilisés

Identités remarquables	a^2 + b^2 =(a + b)² – 2ab a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)
Résolution équation 2^e degré	Δ = b² – 4ac x = (-b ± √Δ) / 2a
Factorisation polynôme du 3^e degré

Carré et cube

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Problème

Connaissant la somme des cubes et celle des carrés, calculer la somme des deux nombres:
s = a + b.

Données	a^3 + b^3	= 10
	a^2 + b^2	= 7
Question	a + b	= s ?
On pose	ab	= p

Voir Autres défis en Algèbre

Résolution

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Le départ consiste à évaluer les deux sommes de puissances en somme des nombres à la même puissance.

Cela revient à avoir deux équations ne faisant intervenir que deux inconnues: la somme s = a + b et le produit p = ab.

Le calcul se poursuit en résolvant ces équations: calcul de p en fonction de s puis, remplacement de p dans la seconde équation.

Il en résulte une équation du troisième degré qui, fort heureusement, possède une racine évidente (1) ce qui autorise une factorisation, et laissant une équation du second degré à résoudre.

Identités remarquables	a^3 + b^3	= (a + b)^3 – 3ab(a + b)
	a^2 + b^2	= (a + b)² – 2ab
Avec les nombres	10	= s^3 – 3ps
	7	= s² – 2p
Valeur de p	p
Remplacement	10
Calcul	20
Équation	0
Solution évidente	s = 1	ð 1 – 21 + 20 = 0
Factorisation	0
Résolution	Racines s	1, 4 et - 5
	Valeurs p	- 3, 9/2, 9

Vérification

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Nous obtenons trois couples de valeurs pour s et p.

Il est important de vérifier si ces deux valeurs (s et p) sont réelles et non imaginaires.

Pour cela, il faut calculer les racines d’une équation quadratique:
x² – sx + p = 0
et avoir un discriminant positif.

Cette vérification conduit à éliminer deux des couples et à ne conserver que la valeur:
s = a + b = 1

Si s = 1, p = -3	x² – x – 3 = 0
Si s = 4, p = 9/2	x² – 4x +9/2 = 0
Si s = -5, p = 9	x² + 5x +9 = 0
Solution	a + b	= 1

Solution en a et b

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Avec a + b = 1 et a² + b² = 7, résolvons en a et b.

On trouve deux valeurs conjuguées dont la somme vaut bien 1.

On vérifie que la somme des carrés vaut 7 et celle des cubes vaut 10.

b
7
a
b
a + b
a^2 + b^2
a^3 + b^3

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