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Édition du: 31/03/2026 |
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INDEX |
Python – Comment se lancer et initiation |
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Faites
un double-clic pour un retour en haut de
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PROGRAMMATION PYTHON – Arithmétique Mes premiers programmes
en arithmétique avec Python. Occasion
de découvrir quelques subtilités du langage par l'expérimentation. Ensuite, voir la page
concernant les trucs arithmétiques |
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Sommaire de cette page >>>
Somme et produit >>>
Diviseurs – Programme d'initiation >>>
Division par soustractions >>>
PGCD – Algorithme d'Euclide >>>
Nombres premiers – Identification >>>
Premiers – Optimisé >>>
Factorisation des nombres >>>
Factorisation des nombres au format standard >>>
Diviseurs d'un nombre >>>
Commande compactée – Boucle et condition >>>
Diviseurs – Programme compacté >>>
Bilan |
Débutants Glossaire |
Voir absolument Mon espace de travail en Python
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from math import prod s
= sum(range(10, 20)) m
= prod(range(10, 20)) print(s, m) 145
335221286400 |
La somme est directe
avec sum et le produit nécessite l'import du module math. |
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#
Somme des carrés de 2 à 10 somme
= sum(i**2 for i in range(2, 11)) print(f"La somme des carrés de 2 à 10
est : {somme}") |
Somme d'une expression
de j à k. Exemple avec les carrés. |
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def somme_carres(lst): return sum(x**2 for x in lst) L
= [2, 4, 5, 6, 7] print("Somme :", somme_carres(L)) Somme :
130 |
Somme de nombre au
carré dans une liste. |
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somme = sum(range(1, 100, 2)) print("Somme
des impairs =", somme) n = 10 somme_entiers = sum(range(1,n+1)) somme_cubes = sum(k**3 for k in range(1, n+1)) somme_carres = sum(k**2 for k in range(1, n+1)) print("somme
des entiers:", somme_entiers) print("Somme
des carrés :", somme_carres) print("Somme
des cubes :", somme_cubes, somme_entiers**2) |
Quelques exemples |
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Programme dans l'éditeur
Affichage dans l'interpréteur
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But Trouver tous les
diviseurs d'un nombre entier n. Exemple 1, 2, 3, 4, 6 et 12 sont
diviseurs de 12 Principe Exploration des nombres
successifs i de 1 à n et test si ce nombre i divise n. Un nombre n est divisible par i si le reste de la division est
nul. Commentaires La première instruction
permet de donner un nombre entier. Input donne la main pour taper ce nombre
qui est compris comme une chaine de caractères. L'instruction int (integer
= nombre en anglais) transforme cette chaine en nombre. Lancement d'une boucle
qui s'arrête à n en lui commandant n+1. Si le reste de la
division (n%i) est nul (==0), imprimer n. Résultat Ici, on a tapé 60 après l'invitation : nombre ? Le programme lancé (run) donne la liste des
diviseurs de 60. |
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Programme dans l'éditeur
Affichage dans l'interpréteur
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But Trouver le quotient de
la division de a par b. Annoncer également le reste. Exemple 100 / 12 = 8 reste 4. 100 / (–4) = –25 reste 0
Principe Soustraire le diviseur
(b) du dividende (a) autant de fois que la soustraction est possible. Commentaires On définit la fonction division avec deux arguments (dividende et diviseur). On traite le signe en
premier et, ceci fait, on ne conserve que la valeur absolue (abs) des deux nombres. Notez
l'antislash qui permet de continuer
l'instruction sur la ligne suivante. Le quotient est en fait un compteur de soustractions, mis à
zéro au départ. Tant que (while) le dividende reste
plus grand que le diviseur, on soustrait et on ajoute un au
compteur-quotient. Le dernier dividende
calculé est égal au reste de la division La fonction nous
transmet (return) le
quotient trouvé assorti du signe, puis le reste. Le programme principal
exécute les deux exemples de divisions. |
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Programme dans l'éditeur
Affichage dans l'interpréteur
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But Trouver le PGCD de deux nombres selon l'algorithme d'Euclide Exemple PGCD (1000, 22) = 2 Principe Algorithme d'Euclide. Commentaires On trouve ici de
nombreux symboles dont la signification est expliquée en Bases Python. On définit la fonction
pgcd(a,b) qui retourne la variable mini qui en fin
de boucle vaut le pgcd. Le programme principal
introduit le dialogue au clavier. Tant que la variable
encore vaut o (on a pris la précaution de l mettre
à cette valeur avant de commencer), demander deux nombres dont la frappe sera
placée en N et M. Impression d'une
expression alternant du texte et les variables N, M et le pgcd. |
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Programme dans l'éditeur
Affichage dans l'interpréteur
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But Trouver si un nombre est
premier. Le programme retourne 0 si n est premier, sinon il indique le
facteur le plus petit. Principe Tout d'abord, on détecte
si le nombre est pair, alors on retourne 2. Sinon on examine les diviseurs
impairs jusqu'à ce que leur carré dépasse n. Si aucune divisibilité
n'est trouvée, on retourne 0; le nombre est premier Notes Astuce pour détecter si un nombre
est pair: on utilise n en binaire que l'on compare à 1: Pour savoir si n est
divisible par i, on teste si son modulo
(n % i) est nul. Test Le nombre 1999 produit
0, il est premier Le nombre 1234567
produit 127, il composé et divisible par 127. |
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Programme optimisé
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But Accélérer la recherche (sans aller chercher les algorithmes avancés
de la théorie des nombres) Principe Utiliser la barre magique des nombres premiers.
Elle dit que les nombres premiers
ne sont seulement qu'en 6n
Programme Le programme élimine
d'abord les cas n = 2, n = 3, n divisible par 2 et n divisible par 3. Il traite ensuit les nombre à partir de i = 5 et jusqu'à ce que le carré de i dépasse ou égale n. La boucle incrémente i de la valeur d qui prend
alternativement les valeurs 2 puis 4. Si aucune divisibilité
n'est trouvée, le programme renvoie "True" qui
signifie que le nombre est premier. Le programme principal
analyse, par exemple, la plage des nombres de 1008 à 1015 (non compris). |
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Voir Nombres premiers avec Python
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Algorithme
Programme dans l'éditeur
Affichage dans l'interpréteur
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But Lister tous les facteurs d'un
nombre. Facteur = diviseurs premiers. Description de l'algorithme La variable n est le nombre à factoriser. Lorsqu'un diviseur (i) sera trouvé, elle prendra la valeur du quotient
(n / i). Lorsque les divisions
successives conduiront à n = 1, alors la
factorisation sera terminée (boucle de droite). Si i divise n (symbole
barre verticale), on retient le facteur et
on met à jour n avec le quotient. L'analyse continue avec
le même diviseur (i) tant que le quotient (n) est divisible: détection des facteurs
multiples. Après épuisement le
diviseur (i) est incrémenté (boucle de gauche) et on recommence les tests de divisibilité. Exemple (trace des variables) n = 50 / 25 5 / 1 / Fin i
= 2 / 3 / 4
/ 5 / 5 Programme Préparation d'une liste
avec le facteur 1. Boucle d'analyse en i (diviseur), incrémenté en fin de boucle Boucle interne qui
cherche si n est divisible par i et combien de fois. En cas de divisibilité, le
diviseur (i) est un facteur; il est
ajouté (append) à a liste L. Le programme affiche
tous les facteurs, même les multiplicités, dans l'ordre croissant Avec 211 = 2
048, on a bien la liste des onze facteurs 2. |
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Voir Factorisation des nombres avec Python
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Programme dans l'éditeur
Affichage dans l'interpréteur
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But Lister tous les facteurs d'un
nombre: chaque facteur étant associé à sa multiplicité, comme: Programme Le même que ci-dessus. À chaque passage dans la
boucle interne (de détermination de multiplicité), on incrémente un compteur
(kt). En sortie de boucle, si
le compteur n'est pas nul, on ajoute le couple facteur /quantité (i et
kt) dans la liste. Format de sortie Cette fois, on traduit
le fait que: 1 765 400 = 1 x 23 x 52 x 7 x 13 x 97 ou 2 048 = 1 x 211 |
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Programme dans l'éditeur
Affichage dans l'interpréteur
Note Avec Maple, divisors(100) produit directement la liste des diviseurs.
Python ne dispose pas de ces fonctions arithmétiques (sauf adjonction de
packages spéciaux). |
But Trouver tous les
diviseurs d'un nombre n. Diviseurs Les diviseurs vont par
paire: 100 = 2 x 50 = 4 x 25 = 5 x 20
= 10 x 10 Moralité: à chaque
division, on trouve deux diviseurs et, on peut arrêter l'exploration à racine
de n (10 pour 100) Commentaires On définit d'abord la
recherche de diviseurs. Ceux-ci seront placés dans la liste D. Boucle d'exploration de
1 à racine de n (puissance 0,5 avec ** pour
puissance). Divisibilité testée
avec: modulo
(symbole %) nul. Le diviseur i et le
quotient entier (n // i) sont
ajoutés (apposés, append) à la liste
déjà constituée Retour demandé en
supprimant les doublons (set) et en
triant les nombres (sorted) |
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Solution rapide avec ensemble des diviseurs
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Exemple pour la
concision d'écriture, mais pas pour la rapidité de calcul Définition d'une
fonction Ediv (ensemble des diviseurs). Renvoyer k pour tous les
k de 1 à n tel que k divise n. Les accolades {…}
caractérisent un ensemble: valeurs non répétées. Attention: Python renvoie
les valeurs dans un ordre quelconque. |
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Une manière raccourcie pour créer une liste (en
rouge)
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Limitation de la
recherche à la racine carrée de n + 1,
prise en nombre entier (int). Si n est divisible par k
(vaut 0 mod k), compléter l'ensemble E (c'est ce que veut dire la barre
verticale suivie de =; la barre verticale est obtenue avec Alt
Gr 6) par k et son complémentaire n//k. Le double // donne le quotient, un nombre
entier. Vous noterez que les
diviseurs vont par paires: 3 x 4115 = 5 x 2469 = 15 x 823 = 12345, d'où k et n/k |
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Voir Diviseurs
avec Python / Éditeur et interpréteur
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Programme dans l'éditeur
Note: l'antislash \ permet d'aller à la ligne suivante Affichage dans l'interpréteur
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But Mettre la formation
d'une liste conditionnelle en une seule ligne. Exemple avec liste des carrés des
nombres pairs Commentaires Les couple à placer dans
la liste S sont n et son carré n**2; Et, cela de n =
1 à 10, non compris; À condition que n soit
un nombre pair: vaut 0 modulo 2 (le reste
de la division par 2 est nul). Impression de cette
liste triée (sorted). |
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But Reprise du programme
diviseurs, en utilisant la forme compactée vue ci-dessus. Commentaires Apple du module math pour calculer la racine carrée (sqrt) plutôt que la
puissance ½. D, la liste (présence
des crochets [ ]) des
diviseurs est calculée en une seule ligne (imprimée sur trois avec les \ de retour à la ligne). |
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But Convertir la liste
imbriquée de paires de nombres en une liste unique. Commentaires Le programme précédent
est complété par celui-ci. Définition de liste
unique (ListUn) Tant que le programme
rencontre une liste interne, il recommence (récursivité). Sinon, il ajouté (append) le nombre à la liste en cours de formation (DD). Impression de la liste
triée (sorted). |
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Autre version
pour les diviseurs et recherche des nombres premiers Particularités: Déclaration d'un
ensemble avec set Utilisation de la barre
verticale qui réunit les listes;
ici, on ajoute k et le quotient de n divisé par k (//) à la liste existante LD. La fonction Premier retourne True ou False (Vrai ou Faux) selon que la quantité de
diviseurs est égale à 2 ou non, caractérisation d'un nombre premier. Le programme principal demande les diviseurs de 100 triés (sorted) puis, la liste des
nombres premiers dans l'intervalle demandé. |
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À l'occasion de l'apprentissage du
langage Python, nous avons revu comment faire la
recherche des nombres premiers et, d'une manière générale, comment
établir la liste des facteurs et des diviseurs d'un nombre. Il existe des modules de traitement
mathématique qui offre ces fonctions et d'autres (Sympy, logiciel
libre, semble le meilleur actuellement
– Je n'ai pas encore testé; j'utilise Maple ou Maxima) |
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