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Édition du: 29/12/2025 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Logique Jeux et énigmes Défis mathématiques	Théorie des jeux
	Décision	Enchères	Enchères hollandaises	Conway

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Théorie des jeux selon Conway La classification des jeux proposée par John H. Conway fournit un cadre rigoureux pour analyser les jeux combinatoires impartiaux ou partisans. Elle permet d’assigner à chaque position une valeur mathématique décrivant précisément ses options et son comportement stratégique. Cette page présente les notions essentielles — jeux, options, sommes, valeurs — et montre comment cette structure unifiée permet de comparer, combiner et résoudre des jeux de manière systématique. Conway’s classification of games provides a rigorous framework for analysing combinatorial game.
	Sommaire de cette page >>> Classification des jeux par Conway >>> Les deux jeux de base >>> Jeu de Nim simplifié avec 5 bâtons >>> Le jeu de Nim façon Conway >>> Catégories de jeux >>> Les jeux comme des nombres >>> Bilan >>> Nombres surréels >>> Nombres dyadiques (fractions)	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Anglais Surreal number

Classification des jeux par Conway		haut
La classification des jeux en théorie des jeux combinatoires selon le mathématicien John Horton Conway est une autre façon de voir les jeux. Quand on parle de jeux, on pense souvent aux jeux de hasard (comme la roulette) ou aux jeux où l’on cache de l’information (comme le poker). Mais la théorie des jeux combinatoires, développée notamment par Conway, s’intéresse à un autre type de jeux. Ces jeux vérifient toujours les règles suivantes : il y a deux joueurs, appelés Gauche et Droite ; aucun hasard n’intervient (pas de dés, pas de cartes tirées au sort) ; toute l’information est visible par les deux joueurs ; la partie se termine forcément après un nombre fini de coups ; un seul joueur joue à la fois ; un joueur qui ne peut pas jouer à son tour a perdu. Ces règles simples sont essentielles : toute la théorie de Conway repose sur elles. Un exemple très simple est le jeu des allumettes ou jeu de Nim : on enlève à tour de rôle des allumettes, et celui qui ne peut plus jouer perd. Conway a eu une idée révolutionnaire : classer tous ces jeux comme des objets mathématiques, un peu comme des nombres.	Comment Conway définit un jeu L’idée centrale de Conway est la suivante : Un jeu n’est pas défini par son plateau ou son histoire, mais par les positions vers lesquelles chaque joueur peut jouer lorsqu’il a la main. Un jeu est donc noté : G = {G^L | G^D} G^L = ensemble des options de Gauche G^L = ensemble des options de Droite Important: cette écriture ne décrit pas une séquence de coups, ni un choix simultané : elle décrit les possibilités de choix du joueur dont c’est le tour. Conséquence Quand un joueur joue, le jeu devient l’option choisie. Les options ne sont pas modifiées dynamiquement. On ne “retire pas” des options : on change complètement de jeu.
Nous allons explorer la méthode de Conway en présentant les jeux de base (phases finales d'un jeu), en rappelant le principe du jeu de Nim et en appliquant la vision de Conway à ce jeu. Nous terminerons en approfondissant la théorie de Conway, notamment comment classer les jeux par catégories. Et, finalement, une application inattendue; la définition des nombres entiers.

Notation de Conway

Conway définit les nombres comme des jeux, par récurrence :

Objet	Définition	Commentaire
0		Aucun coup possible. Jeu nul.
1		Gauche peut aller à 0, Droite ne peut rien faire. Gauche gagne toujours.
−1		Gauche peut aller à 1, etc. Droite gagne toujours.
1/2		Droite peut aller à 0, Gauche ne peut rien faire. Jeu positif mais plus petit que 1.
{1 ∣ 1}	n'est pas un nombre	Jeu flou (fuzzy). Gauche et Droite ont exactement la même option.

Les deux jeux de base		haut
Le jeu 0 Le jeu le plus simple est : { | } Aucun coup possible. Il s'agit de la position finale d'un jeu où ni Droite ni Gauche n'ont de coup à jouer. Le joueur qui tombe sur ce jeu a perdu. Ce jeu représente ainsi une position morte, une fin de partie.	Le jeu 1/2 Un premier jeu non trivial, le jeu : { 0 | 1 } C’est un jeu G tel que : Si Gauche commence, il jouer vers 0 et le jeu devient { | } Droite est face au jeu 0. Il perd. Si Droite commence, il jouer vers 1 et le jeu devient { 0 | } Gauche joue 0 et le jeu devient { | } Droite est face au jeu 0. Il perd. Gauche gagne toujours.

Jeu de Nim simplifié avec 5 bâtons

Stratégie gagnante

Principe clé: Les positions où n ≡ 0 (mod 3) sont perdantes pour le joueur qui doit jouer; les autres sont gagnantes. Pour gagner, un jouer doit conserver un multiple de trois bâtons dans le jeu

Application à 5: Comme 5 ≡ 2 (mod 3), le premier joueur gagne en prenant deux bâtons.

Déroulé pas à pas

Départ	Joueur 1	Jouer 2	Joueur 1
I I I I I
Cas 1	I I I	I	Retire 1 et gagne
Cas2	I I I	II	Retire 2 et gagne

Le jeu de Nim façon Conway

haut

Soit un jeu de Nim très simple, avec un seul tas et au plus 2 bâtons retirés par coup.

1. Règles du jeu (version simplifiée)

Il y a un seul tas de bâtons.

À son tour, un joueur peut retirer 1 ou 2 bâtons.

Le joueur qui ne peut pas jouer perd.

Deux joueurs : Gauche et Droite (mêmes droits).

2. Positions du jeu

On note les positions par le nombre de bâtons restants :

0 bâton

1 bâton

2 bâtons

3 bâtons

Nous allons maintenant définir chaque position comme un jeu de Conway.

3. Position finale : 0 bâton

Il n’y a plus de bâtons, donc aucun coup possible.

Notation: G₀ = { | }

C’est la position perdante pour le joueur dont c’est le tour.

4. Position : 1 bâton

On peut retirer 1 bâton et arriver à 0.

Impossible de retirer 2 bâtons.

Notation: G₁ = { 0 | 0 } = ✲ (fin de partie)

Possibilités

Gauche peut aller à 0

Droite peut aller à 0

Le premier joueur gagne.

5. Position : 2 bâtons

On peut :

retirer 1 bâton → reste 1 bâton

retirer 2 bâtons → reste 0 bâton

Possibilités

Gauche : G₁ ou 0

Droite : G₁ ou 0

Notation: G₂ = { G₁, 0 | G₁, 0 }

Or : G₁ = ✲

Donc :

Analyse

Le premier joue 0 fait perdre l’adversaire immédiatement.

G₂ est aussi une position gagnante pour le premier joueur.

6. Position : 3 bâtons

On peut :

retirer 1 bâton → reste 2 bâtons

retirer 2 bâtons → reste 1 bâton

Options

Gauche : G₂ ou G₁

Droite : G₂ ou G₁

Notation: G₃ = { G₂, G₁ | G₂, G₁ }

Analyse stratégique (très importante)

On sait que :

G₁ est gagnant pour le premier joueur

G₂ est gagnant pour le premier joueur

Donc :

Tous les coups possibles mènent à une position gagnante pour l’adversaire

Cela signifie que G₃ est une position perdante.

Conclusion: G₃ ≈ ✲

Même si ce n’est pas exactement le jeu 0, il est équivalent à 0 du point de vue de sa suite.

7. Tableau récapitulatif

Bâtons	Notation Conway	Type de position
0	G0 = { | } = ✲	Perdante
1	G1 = { 0 | 0 } = ✲	Gagnante
2	G2 = { ✲, 0 | ✲, 0 }	Gagnante
3	G3 = { G2, G1 | G2, G1 }	Perdante

Cet exemple montre que:

À chaque coup, le jeu est remplacé par la position atteinte.

Les options précédentes disparaissent.

Le symbole (0) signifie absence totale de coups.

La notation { ... | … } décrit les possibilités depuis une position donnée, pas toute l’histoire du jeu.

Dans un jeu combinatoire comme Nim, chaque position est un jeu au sens de Conway ; jouer consiste à remplacer le jeu courant par l’une de ses options, et atteindre le jeu 0 signifie qu’aucun coup n’est encore possible et que la partie s’arrête.

Catégories de jeux		haut
a) Les jeux nuls (0) Un jeu est dit nul si : Un jeu est dit nul si le joueur qui commence perd inévitablement.	b) Les jeux positifs (> 0) Un jeu est positif si : le joueur Gauche gagne, même si Droite commence. Ces jeux sont favorables à Gauche. Ils se comportent comme des nombres positifs. Exemple : 1 = { 0 | } Gauche peut jouer vers 0, mais Droite n’a aucun coup possible.
c) Les jeux négatifs (< 0) Un jeu est négatif si : le joueur Droite gagne, même si Gauche commence. Ils sont symétriques des jeux positifs et se comportent comme des nombres négatifs. Exemple : -1 = { | 0 }	d) Les jeux flous (ou incomparables) Certains jeux ne sont ni positifs, ni négatifs, ni nuls. Dans ces jeux : le premier joueur gagne, quel qu’il soit. Ils ne correspondent pas à un nombre ordinaire. Exemple célèbre : ✲= { 0 | 0 } Un jeu est dit flou lorsque le premier joueur gagne, mais qu’aucun des deux joueurs ne gagne systématiquement indépendamment de l’ordre de jeu.

Les jeux comme des nombres		haut
Les jeux comme des nombres L’idée la plus surprenante de Conway est que certains jeux sont exactement des nombres. Par exemple : Ces jeux se comportent comme des nombres : on peut les additionner, les comparer, et même définir des fractions. Cela permet de transformer un jeu compliqué en un calcul mathématique.	Intérêt La méthode de Conway permet : de prévoir le gagnant d’un jeu sans le jouer, de décomposer un jeu complexe en plusieurs sous-jeux, de relier les jeux à des nombres et structures mathématiques. Elle montre aussi que les jeux peuvent être étudiés avec la même rigueur que l’algèbre ou l’analyse.

Bilan

La classification des jeux selon Conway est une idée puissante et élégante :

elle repose sur une définition simple,

elle classe les jeux selon l’avantage des joueurs,

elle relie les jeux à la notion de nombre.

Grâce à cette approche, les jeux ne sont plus seulement des divertissements, mais deviennent de véritables objets mathématiques, que l’on peut comparer, classer et analyser rigoureusement.

Nombres surréels

haut

L’idée est surprenante :

Les nombres peuvent être définis exactement comme des jeux.

Autrement dit, Conway n’utilise pas les nombres pour analyser les jeux.

Il fait naître les nombres à partir des jeux eux-mêmes.

Dedekind ajoute de nouveaux nombres entre les rationnels. Cantor en ajoute au delà des entiers. J. Conway en insère partout.

Jean-Paul Delahaye, 2008

Les nombres surréels sont des objets mathématiques définis récursivement par John H. Conway.

Chaque nombre surréel est construit à partir d’un couple de deux ensembles de jeux :

x = {G | D}

G : ensemble des options pour Gauche

D : ensemble des options pour Droite

Un surréel est valide si aucun élément de G n’est plus grand ou égal à un élément de D.

On peut ainsi construire tous les entiers, les rationnels, les réels, et même des nombres infiniment petits ou grands.

Jour	Surréel	Définition	Interprétation
0	$0$	$\{<span\; style="font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:11.0pt;font-family:"Cambria\; Math","serif";\; mso-bidi-font-family:Arial;color:blue">\; \mid \; </span><span\; style="font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:11.0pt;font-family:"Arial","sans-serif";\; color:blue">\}</span><span\; style="font-size:14.0pt;\; mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:"Arial","sans-serif";color:blue"><o:p></o:p></span><p></p>$	Aucun coup possible
1	$1$	$\{0<span\; style="font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:11.0pt;font-family:"Cambria\; Math","serif";\; mso-bidi-font-family:Arial;color:blue">\; \mid <span\; style="mso-spacerun:yes">\; </span></span><span\; style="font-size:14.0pt;\; mso-bidi-font-size:11.0pt;font-family:"Arial","sans-serif";color:blue">\}</span><span\; style="font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:"Arial","sans-serif";\; color:blue"><o:p></o:p></span><p></p>$	Gauche gagne toujours
	$-1$		Droite gagne toujours
2	$\frac{\mathrm{1/2<o:p></o:p><p></p>}}{}$		Jeu strictement positif
	$2$	$\{1<span\; style="font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:11.0pt;font-family:"Cambria\; Math","serif";\; mso-bidi-font-family:Arial;color:blue">\; \mid <span\; style="mso-spacerun:yes">\; </span></span><span\; style="font-size:14.0pt;\; mso-bidi-font-size:11.0pt;font-family:"Arial","sans-serif";color:blue">\}</span><span\; style="font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:"Arial","sans-serif";\; color:blue"><o:p></o:p></span><p></p>$	Gauche peut aller à 1
	$-2$		Droite peut aller à -1
3	$\frac{\mathrm{3/2<o:p></o:p><p></p>}}{}$		Entre 1 et 2
	$-1/2<o:p></o:p><p></p>$		Entre -1 et 0
	$\frac{\mathrm{1/4<o:p></o:p><p></p>}}{}$		Plus petit que 1/2
	$\frac{\mathrm{3/4<o:p></o:p><p></p>}}{}$		Plus grand que 1/2

Plus vaste que les réels

Ainsi, les entiers, les fractions, puis des nombres infiniment petits ou infiniment grands apparaissent naturellement.

La méthode de Conway permet :

de définir les nombres sans les supposer connus à l’avance ;

de construire un ensemble de nombres contenant :

les entiers,

les rationnels,

les réels,

et bien plus encore ;

de comparer des objets très différents (jeux, nombres, stratégies) avec un langage unique.

Les nombres surréels forment ainsi un ensemble plus vaste que celui des nombres réels.

Historiquement

Rapidement, Conway découvre que cette construction engendre tous les nombres connus : entiers, rationnels, réels, mais aussi des infinis et des infinitésimaux.

Les ordinaux apparaissent naturellement.

Les fractions se glissent entre les entiers.

Les nombres infiniment petits cohabitent avec les nombres infiniment grands.

C’est un univers où chaque jour de la genèse ajoute de nouvelles créatures numériques.

Nombres dyadiques (fractions)

Un nombre dyadique est un nombre de la forme :

où m et n sont des entiers relatifs.

Dans la théorie des surréels, les dyadiques sont les nombres construits à un "jour" fini. Ils forment une sous-structure dense entre les entiers, et permettent de représenter tous les rationnels avec dénominateur puissance de 2.

Exemples :

Ne pas confondre avec les nombres p-adiques.

Voir Liste des types de nombres

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La droite des surréels

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Sites	Stratégies magiques au pays de Nim – Interstices Des jeux aux nombres surréels – Lisa Rougetet – CNRS Nombres surréels – Wikipédia Fractions dyadiques – Wikipédia Conway Game – Wolfram MathWorld Conway’s surreal numbers – A particular case of Combinatorial Game Theory – Clémentine Laurens – 39 pages – 2018 What are Conway’s Surreal Numbers, and what should they be?** – Wolfgang Bertram – 72pages – 2024
Cette page	http://diconombre.fr/LogForm/TdjConwa.htm