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Terminaisons des PRODUITS 1) On
s'intéresse d'abord aux unités de
la table multiplication et de leur
arrangement sur le clavier de l'ordinateur. 2) Deux
nombres se terminant par une valeur donnée. Exemple
de curiosité (ces nombres sont rares)
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Table de multiplication de {1 à 5} fois {5
à 9} Relions entre eux
les produits qui ont les mêmes unités. Une certaine symétrie se dégage. Analysons
le cas du 6 : 4 × 9
= 36 (1 + 3)
( 6 + 3) = 1×6 + 1×3 + 3×6 + 3×3 =
(1 x 6) + 6 + 18 + 9 =
(1 x 6) + 30 Ce qui montre
que 1×6 et 4×9 ont les mêmes unités. En effet, l'écart (évident) est de 30. |
Notez que seule l'unité 3 est absente. |
Observations communiquées
par
Stéphane Perron
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Unités des produits de la table de multiplication jusqu'à 12
Position des unités successives sur le clavier pour les tables du 2,
du 3 et du 7
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Voir Table
du 7 / Unités
des puissances
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Observations |
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Table des premières valeurs A
et B se terminent de la même manière. Est-il
possible de prédire la terminaison de leur produit ? Oui, dans les cas où, le nombre est
terminé par les chiffres suivants: |
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Unités Tableau => Dizaines La première condition est que les unités se
terminent de la même manière; soit: 0 , 1, 5, 6 Le cas 0 est assez trivial (banal); on laisse
tomber. 10 x 100 = 1 000 On explore les 3 cas qui restent. Principe de l'exploration Exemple
ci-dessous avec 25 |
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Deux
nombres qui se
terminent par 25 |
A = 100a + 25 B = 100b + 25 |
A = 125 = 100x1 + 25 B = 725 = 100x7 + 25 |
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Leur
produit |
A.B = (100a + 25)( 100b + 25) = 10 000ab + 2 500(a+b) + 625 |
A.B = 70 000 + 2 500 x 8 + 625 =
90 625 |
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on note
que |
10 000ab aura toujours 4 zéros 2 500(a+b) aura toujours 2 zéros |
70
000 + 20 000 + 00 625 |
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Les deux
chiffres restants sont ceux de |
625 soit 25 |
= 90 625 |
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Le
produit de deux nombres terminés par 25 se termine par 25. Note: le produit se termine par 625 si l'unité de 5(a +
b) est égale à 0 |
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On
cherche une terminaison k à 2 chiffres et se terminant par 1 telle que => |
...k x …k = …k |
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2
nombres se terminant par
k (à 2 chiffres): |
Ak = 100A + k Bk = 100B + k |
121 421 |
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Leur
produit: Hors
k², il se termine par 2 zéros. En
ajoutant k², Il
se termine par les deux derniers chiffres de k². |
Ak . Bk = (100A + k)(100B
+ k) = 10 000 AB + 100k (A+B) + k² |
121 x 421 = 10000(1 x 4) + 100 x 21 (1 + 4) + 21² = 40 000 + 10 500 + 441 = 50 941 |
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Le produit de 2
nombres se terminant par k à 2 chiffres se
termine par les 2 derniers chiffres de k² |
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Généralisation |
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Deux
nombres se terminant par
k (à 3 chiffres): |
Ak = 1000A + k Bk = 1000B + k |
1234 5234 |
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Leur
produit: Hors
k², il y 3 zéros. |
Ak . Bk = (1000A + k)(1000B
+ k) = 1 000 000 AB + 1 000k (A+B) + k² |
234² =
54 756 1234 x
5234 = 6 458 756 |
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Le produit de 2
nombres se terminant par k à 3 chiffres se
termine par les 3 derniers chiffres de k² Le produit de 2
nombres se terminant par k à n chiffres se
termine par les n derniers chiffres de k² Le produit de Q
nombres se terminant par k à n chiffres se
termine par les n derniers chiffres de kQ |
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Voir Multiplications
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On
dispose déjà de deux règles Explorons: |
Le chiffre des
unités doit être: 1, 5 ou 6; Les deux chiffres
sont les deux derniers du carré. |
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Avec 1
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Avec 5
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Avec 6
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Le
produit de deux nombres terminés par 25 se termine par 25 Le
produit de deux nombres terminés par 76 se termine par 76 Et ce
sont les deux seuls cas |
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Le choix est limité car il faut que les
deux derniers chiffres soient identiques. Soit : 25 ou 76. |
Les deux seules solutions
En fait, ces deux terminaisons donnent
chacune un filon. Q est la quantité de chiffres. |
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25 Avec n chiffres, les seules solutions
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76 Avec n chiffres, les seules solutions
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Les mêmes avec calcul sur 100 chiffres
Ces deux nombres N et M, au carré, se
terminent par eux-mêmes. C'est le cas aussi pour tous les
nombres formés à partir de ceux-ci en les tronquant à gauche, jusqu'aux
minimums que sont 5 et 6. |
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Même type de
sujets en |
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Voir |
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