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NOMBRES MINIMAUX ou inévitables Exploration en théorie des nombres:
ensemble de nombres tel que tous les autres nombres s’y retrouvent parmi
leurs chiffres. On cherchera, par exemple, l’ensemble minimal des nombres premiers ou des nombres composés, en base 10 ou autres
bases, ... La surprise : ces
ensembles minimaux sont finis ! Quantité limitée de nombres. Exemple avec les mots et les lettres : Supposons que l’ensemble
minimal des mots contienne le mot {..., AMI, ...}, alors les mots {AMIE,
AMIS, AMIES} comporte "AMI" et ne font donc pas partie de
l'ensemble minimal. Ce sera le cas également des mots {MAMIE, GAMIN, TATAMI,
MATHÉMATIQUE, ARITHMÉTIQUE, ÉLECTRODYNAMIQUE ...} qui ne feront pas partie de
l’ensemble minimal car on peut y retrouver le mot AMI. Il suffit d’effacer
des lettres pour retrouver le mot ami avec ses lettres dans le bon ordre. |
Anglais:
Minimal
prime, minimal composite number
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Définition Ensemble
minimal de nombres
premiers tels qu’aucun nombre premier ne contienne dans ses chiffres,
pris dans l’ordre, un premier de l’ensemble. Anglais : Every prime number, when
written in base ten, has one of the minimal primes as a substring. |
Auteur Notion
introduite en 2000 par Jeffrey Shallit de l'Université canadienne de
Waterloo. Propriété L’ensemble
minimal des nombres premiers est un ensemble fini. Il compte 26 nombres. Propriété
démontrée par M. Lothaire, un collectif français de spécialistes en
combinatoire. |
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Construction Prenons la
liste des nombres premiers successifs :
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2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101 … Liste des 26
nombres premiers minimaux 2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949,
9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049. Certains remarqueront la présence persistante du nombre 666. |
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Conséquence Pour tout
nombre premier, il est possible d’effacer certains chiffres, ou aucun, et
retrouver un nombre premier de la liste minimale. |
Exemple
d’appartenance ou non avec les premiers de 409 à 449. 409 : 4, 9, 40, 49 ne sont pas premiers et ne sont donc pas dans
la liste minimale. 419: 41 est
dans la liste; non sélectionné pour faire partie de la liste. 421: 4, 2, 1,
42, 41, 21 avec 41 dans la liste minimlae, il est
rejeté. 431, 433, 439, 443 avec
présence du 3, ils sont tous éliminés. 449: 4, 9, 44, 49 ne sont pas
premiers. Candidat retenu pour la liste minimale. |
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Il y a
exactement 32 nombres composés qui n'ont pas de sous-suite composée plus
courte. Tout nombre composé
contient dans ses chiffres au moins un des éléments de cet ensemble et c’est
l’ensemble le plus petit. |
Liste des 32 nombres composés
minimaux 4, 6, 8, 9,
10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72,
75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731. Exemple de nombres composés 111: aucun
nombre (1 ou 11) déjà dans la liste: retenu 112: avec le
12, ce nombre est rejeté de la liste minimale. 113 est un
nombre premier 114: avec
son 4, il est rejeté. |
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On dit
qu’une chaine de symboles (s) est minimale dans un langage L si s est un
membre de L et s’il n’est pas possible d’obtenir un autre membre de L par effacement d’un ou plusieurs symboles de s. |
On sait que
l’ensemble minimal est fini. En revanche,
son calcul n’est pas toujours facile. |
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Curieux de constater que ces ensembles
sont finis. Pourtant, un théorème connu stipule que tout ensemble de chaines
de caractères incomparable deux à deux est fini. Et, cette propriété reste valable dans de
nombreux cas :
Voir les références Internet pour en savoir plus. |
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