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Édition du: 30/11/2025 |
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INDEX |
Problèmes – Défis |
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Deux demi-cercles Problèmes
rencontrés sur le Net proposés comme défis aux Internautes. De l'intérêt
d'une recherche de construction. Comment simplifier une racine de racine. |
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Sommaire de cette page >>> Les deux demi-cercles à 15° >>> Deux demi-cercles inversés >>> Deux demi-cercles tangents >>> Calculs >>> Vérification avec GeoGebra >>> Deux cercles dans un demi-cercle |
Débutants Glossaire |
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Construction Deux demi-cercles congruents (identiques) de
diamètre 5 cm. Un point commun sur leur diamètre. Les deux
diamètres font un angle de 15° (π/12). Quelle est l'aire de la zone bleue? Piste Nommons les aires des zones A, B, C et D, avec D
l'aire de chacun des deux demi-cercles.
L'aire de la zone bleue (C) est égale à celle de
la partie rouge (A) en dessous du diamètre bleue, une sorte de secteur
(le secteur serait ABF et non ABD). Notez que
cette propriété est indépendante
de l'angle. Calculs La zone rouge inférieure (A) est composée d'un triangle
rectangle ABD et d'une zone courbe autour de AED, un segment angulaire. Tableau des calculs en sachant que sin15×cos15°
= 1/4.
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Figure initiale
Figure pour comparaison des aires
Figure pour calcul de l'aire
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Voir
Défis géométriques
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Construction Un demi-cercle de rayon r et un demi-cercle de
rayon R. Le segment L est tangent à l'un des demi-cercles. Quelle est l'aire du rectangle A ? On étudiera le cas où R = r et L = 5 cm. Pistes Le rayon HF est perpendiculaire à la tangente. Le théorème de Pythagore est appliqué dans le
triangle rectangle AFH. Calculs
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Figure initiale
Figure avec notations
Figure solution
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Problème Deux demi-cercles de rayon unité, tangents entre eux
et tangents, chacun, aux lignes de diamètre de l'autre. Valeur de la diagonale D ? |
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Tracé OO' Dessiner le segment qui relie les deux centres. Or, si deux cercles sont tangents, leurs centres
et le point de tangence sont colinéaires (O, T et O' sont alignés). Calcul AC Cette distance horizontale AC comprend deux fois
le rayon et deux fois le côté d'un triangle rectangle. Dans ce triangle, l'hypoténuse vaut 1, le rayon
du demi-cercle. Du fait de la symétrie le point T est central et TE = 1/2. Théorème de
Pythagore: OE² = OT² – TE² |
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Calcul AB À nouveau, application du théorème de Pythagore:
AB² = AC² + BC² |
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Construction Demi-cercle AB. Horizontales en y = 0; 0,5 et 1. Intersection G entre l'horizontale 0,5 et le demi-cercle. Demi-droite OG. Intersection O'. Demi-cercle de rayon O'G ( = 1). Intersection J. Mesure Diagonale AJ et sa mesure donnée par la logiciel:
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Voir GeoGebra
D'après The Distances Across Two Semicicles
– Mind Your Decision – Presh Talwalkar – Vidéo
en anglais
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Problème Deux cercles bleus de rayon 4 cm et 6 cm,
tangents entre eux et tangents à un demi-cercle de rayon R. Quelle est la valeur de R ? Piste Lorsque deux cercles sont tangents, leurs centres
et le point de tangente sont alignés. On peut donc tracer les deux segments
verts OM et OL. On nomme x la distance entre le centre du
demi-cercle et un point de tangence avec le diamètre x = OJ. La suite va consister à appliquer le théorème de
Pythagore dans les trois triangles rectangles indiqués sur la figure du
bas. |
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Calculs
Vérification GeoGebra
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Suite |
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Cette page |
http://diconombre.fr/aExercic/Probleme/DemiCerc.htm
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