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Édition du: 12/08/2026 |
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Polygones, polyèdres et polytopes la géométrie des dimensions Des formes
régulières aux extraordinaires polytopes de la quatrième dimension.
Note: Polygones et polyèdres sont considérés
comme des polytopes de dimension 2 et 3. Voir aussi Nombre
polytopes |
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Sommaire de cette page >>> Polygones,
polyèdres et dimensions supérieures >>> Quatrième
dimension: polytopes >>> Cinquième
dimension et plus >>> Bilan >>> Formes
étoilées >>> Les
simplexes : une famille qui traverse toutes les dimensions >>> Compléments: autres
Polytopes |
Débutants Glossaire |
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En deux dimensions,
la géométrie régulière semble presque trop facile. On
peut construire un triangle équilatéral, un carré, un pentagone, un hexagone…
et continuer ainsi sans limite. |
Pour chaque nombre entier , il existe
un polygone régulier à côtés : mêmes longueurs, mêmes angles, symétrie
parfaite. |
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En trois dimensions,
les contraintes deviennent beaucoup plus sévères. Un polyèdre régulier doit
avoir des faces qui sont elles-mêmes des polygones réguliers identiques. Mais
cela ne suffit pas : il faut aussi que la disposition des faces autour de
chaque sommet soit partout la même. |
Cette exigence de symétrie totale ne
laisse que cinq possibilités : les cinq solides de Platon — tétraèdre,
cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre. |
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Puis
apparaît une idée nouvelle : le polytope. Le
mot ne désigne pas une forme particulière, mais une généralisation des
polygones et des polyèdres à n'importe quelle dimension. |
Ainsi:
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La
quatrième dimension apporte une complication supplémentaire : les « faces »
d'un polyèdre deviennent à leur tour des volumes. Un
4-polytope possède donc des sommets, des arêtes, des faces
bidimensionnelles, mais aussi des volumes tridimensionnels appelés cellules.
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C'est une véritable géométrie emboîtée
: de même qu'un polyèdre est constitué de polygones, un 4-polytope est
constitué de polyèdres. |
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Et
pourtant, la quatrième dimension réserve une surprise : elle est plus
riche que la troisième. Il existe non pas cinq, mais six 4-polytopes
réguliers convexes:
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Les trois premiers prolongent les
grandes familles déjà rencontrées. Les trois derniers sont des apparitions
exceptionnelles propres à la dimension 4. |
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Le
simplexe est la généralisation la plus élémentaire.
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C'est l'exemple le plus simple de la
manière dont les différents niveaux de structure s'empilent avec la
dimension. |
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Une
autre généralisation est l'hypercube :
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Sa famille duale est celle des cross-polytopes,
dont le triangle, l'octaèdre et le 16-cell sont les premiers représentants. |
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Le
24-cell, le 120-cell et le 600-cell sont, eux, beaucoup plus surprenants. Ils
n'ont pas d'équivalent direct dans les dimensions 2 ou 3. |
Le 24-cell est même auto-dual,
tandis que le 120-cell et le 600-cell sont deux objets duaux : les 600
sommets de l'un correspondent aux 600 cellules de l'autre, et réciproquement. |
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Il
existe enfin une belle généralisation de la relation
d'Euler. Sommets + Faces = Arêtes + Cellules. |
Pour
un polyèdre ordinaire: S + F = A + 2 En
dimension 4, avec sommets, arêtes, faces et cellules, on retrouve une
relation de type: S + F =
A + C. |
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À
partir de la dimension 5, le phénomène s'inverse. La dimension
augmente, mais les polytopes réguliers deviennent plus rares. Il n'existe
plus que trois familles :
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Autrement dit, les trois familles
fondamentales sont capables de se prolonger indéfiniment, mais les
extraordinaires exceptions de la dimension 4 disparaissent. Cette classification est un résultat
classique de la théorie des polytopes réguliers, remontant notamment aux
travaux de Schläfli. |
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Cette
progression donne finalement une histoire assez étonnante de la régularité :
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La dimension semble donc ouvrir toujours davantage
de possibilités géométriques. Mais lorsqu'on exige que tout soit
parfaitement régulier et symétrique, c'est l'inverse qui se produit : les
possibilités se raréfient. La géométrie des dimensions supérieures devient
ainsi moins un catalogue de formes qu'une étude de la symétrie poussée
jusqu'à ses limites. |
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À
partir de la dimension 5, le phénomène s'inverse. La dimension
augmente, mais les polytopes réguliers deviennent plus rares. Il n'existe
plus que trois familles :
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Autrement dit, les trois familles
fondamentales sont capables de se prolonger indéfiniment, mais les
extraordinaires exceptions de la dimension 4 disparaissent. Cette classification est un résultat
classique de la théorie des polytopes réguliers, remontant notamment aux
travaux de Schläfli. |
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Tableau de synthèse
Les six 4-polytopes réguliers convexes
Tableau plus complet sur Wikipédia Voir Simplexe |
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L'icositétrachore, ou 24-cellules
(24-cell), est un 4-polytope régulier convexe.
Source image: Wikipédia
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La
classification ne s’arrête pourtant pas aux formes convexes. En
dimension 3, lorsqu’on abandonne l’exigence de convexité, les cinq solides de
Platon donnent naissance à quatre formes régulières étoilées, les solides
de Kepler-Poinsot. |
On
autorise alors les faces ou les cellules à se croiser, comme les
branches d’une étoile. Un
polygone régulier peut ainsi devenir un pentagramme ; de même, en dimension
supérieure, les polyèdres qui constituent les cellules peuvent être étoilés
ou s’entrecroiser. La
régularité n’est pas abandonnée : ce qui change, c’est simplement la
convexité. |
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Et
la quatrième dimension réserve une nouvelle surprise. Il
existe exactement 10 polytopes réguliers étoilés, appelés polytopes de
Schläfli-Hess. |
Avec
les six polytopes réguliers convexes, cela porte à 16 le nombre total de
4-polytopes réguliers si l'on accepte les formes étoilées. |
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Ces
dix objets sont particulièrement remarquables parce qu'ils constituent, en
quelque sorte, les Kepler-Poinsot de la quatrième dimension. Leur
notation par les symboles de Schläfli permet de les décrire très
efficacement. L'histoire
de leur découverte est à noter. Ludwig Schläfli, qui avait établi la
classification des polytopes réguliers, en identifia quatre. Edmund Hess
compléta ensuite la liste en 1883, portant le total à dix. |
Par
exemple, le symbole {5/2,3,3} indique qu'une des composantes fondamentales
est construite à partir du pentagramme {5/2}, plutôt que du pentagone
ordinaire {5}. Le
nombre fractionnaire signale ainsi le caractère étoilé. |
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La pyramide des formes régulières
La
quatrième dimension est l'unique dimension qui cumule à la fois les six
formes convexes exceptionnelles et les dix formes régulières étoilées. Elle
apparaît ainsi comme une sorte de « dimension miraculeuse » de la géométrie
régulière. |
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Les simplexes
: une famille qui traverse toutes les dimensions |
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La famille des simplexes réguliers
constitue l'une des trois grandes familles de polytopes réguliers qui se
prolongent dans toutes les dimensions, avec les hypercubes et les
cross-polytopes. Le simplexe est, en quelque sorte, le polytope le
plus élémentaire d'une dimension donnée. Un n-simplexe est l'enveloppe convexe de n
+ 1 points affinement indépendants. Ces points constituent ses sommets et
déterminent une structure entièrement symétrique : toutes ses faces sont
elles-mêmes des simplexes. La progression est particulièrement simple :
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Le pentachore, en D4, possède 5 sommets,
10 arêtes, 10 faces triangulaires et 5 cellules tétraédriques. Il constitue donc le prolongement naturel du
tétraèdre dans la quatrième dimension. En D5, le 5-simplexe possède 6 sommets, 15
arêtes, 20 faces triangulaires, 15 cellules tétraédriques et 6 facettes de
dimension 4, chacune étant un pentachore. La structure numérique est remarquable : les
nombres 6 – 15 – 20 – 15 – 6 sont des coefficients du triangle de
Pascal. Plus généralement, le nombre de k-faces
d'un n-simplexe est donné par le coefficient binomial C(n + 1, k +
1). |
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Dimensions
supérieures (à
4) En dimension
cinq ou plus, il n'existe que trois polytopes convexes réguliers. Polytope
spécial Représentation du groupe de Lie E8 Familles
de polytopes Voici un
récapitulatif des plus simples d'entre eux:
Suite en Liste des polytopes La famille comporte les sous-familles des simplexes réguliers, famille généralisant la notion de triangle (D2)
et du tétraèdre (D3); en D4, nous aurons le pentachore.
Selon la dimension, ces objets prennent
effectivement des noms dont la racine est
issue du grec (noms très rarement utilisés !):
Les polytopes
sont une source inépuisable de découvertes. Je vous laisse les découvrir sur Internet. Laissez-vous
guider sur Wikipédia français et également anglais. |
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12
pentagones, 12 pentagrammes (étoile) et 20 hexagones
À
chaque sommet: 1 pentagone, un pentagramme et 2 hexagones
Source Wikipedia
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