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Édition du: 18/04/2026 |
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INDEX |
FACTORIELLES |
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Nombres hypertriangulaires
et nombres hyperfactorielles Nombres
construits à partir des nombres triangulaires et des nombres factoriels en
élevant chacun des termes à la puissance du même nombre.
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Sommaire de cette page >>> Hypertriangulaires –
Sommes >>> Quatre types de nombres >>> Hypertriangulaires –
Puissances >>> Hyperfactorielles >>> Récapitulatif numérique jusqu'à 1000 |
Débutants Glossaire |
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Somme multi-cumulée des
factorielles classiques. Chaque nombre de la table est égal la somme de son
voisin du dessus avec son voisin de gauche. La table donne la valeur
de ces nombres pour les indices de 1 à 20 et pour les ordres de 1 à 5. L'ordre 1 correspond aux
nombres triangulaires
classiques (T). L'ordre 2 correspond aux
nombres tétraédriques
(H), somme cumulée des trinagulaires. Remarquez la symétrie de
la table par rapport à la diagonale principale:
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Somme ou produit des nombres successifs avec ou non leur
puissance
Voir Brève 918
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Ces nombres sont souvent
appelés hypertriangulaires. Chacun est la somme de
tous les nombres jusqu'à lui et porté à leur propre puissance. HT3 = 11
+ 22 + 33 = 32 |
Aucune formule ne permet
le calcul direct de ces nombres. Tout au plus peut-on
encadrer la valeur. Toutefois ces nombres
peuvent être exprimés comme le produit
de discriminants de certains polynômes. Voir lien in fine. |
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Table des premiers nombres hypertriangulaires (en jaune)
Voir Table –Suite Liste des valeurs des nombres hypertriangulaires 0, 1, 5, 32, 288, 3413,
50069, 873612, 17650828, 405071317, 10405071317, 295716741928, 9211817190184,
312086923782437, 11424093749340453, 449317984130199828, 18896062057839751444,
846136323944176515621, …. OEIS A001953 Cas des hypertriangulaires-plus
1: Cas des hypertriangulaires-moins
1: |
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Propriété de
la suite Le rapport
entre deux valeurs successives de la suite, divisé par n tend vers e.
La converge vers
e est très lente. Au dixième rang l'écart avec e = 2,718…
est encore de 0,123… |
Exemples
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Propriété des puissances Cette relation avec les
rapports des puissances des nombres est nettement plus convergente.
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Exemple
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Ces nombres se calculent
comme les factorielles, mais en portant chaque nombre à sa puissance. H3! = 11 × 22
× 33 = 108 |
Cas du 0 Hn! = nn ×
H(n-1)! H1! = 1 × H(0)! |
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Valeurs pour n de 1 à 10
Liste des valeurs des hyperfactorielles 1, 1, 4, 108, 27648,
86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, 55696437941726556979200000,
21577941222941856209168026828800000,
215779412229418562091680268288000000000000000,
61564384586635053951550731889313964883968000000000000000 |
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Curiosité Avec l'hyperfactorielle 5, on atteint le nombre de millisecondes dans un jour. Le tableau montre
comment les produit se combinent pour donner: 24 × 60 × 60 × 1000 = 86 400 000. |
Calcul particulier de l'hyperfactorielle
5.
The fifth hyperfactorial: 5⁵ × 4⁴ × 3³ ×
2² × 1¹ = 86 400 000 milliseconds is exactly 1 day. |
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Formulations |
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Calcul Pas de formule
permettant un calcul direct, mais une formule d'approximation asymptotique. |
Les hyperfactorielles
ont été étudiées à partir du 19e siècle par Hermann Kinkelin et
James Whitbread Lee Glaisher. Kinkelin: tout comme les factorielles peuvent être
interpolées en continu par la fonction gamma, les hyperfactorielles
peuvent être interpolées en continu par la fonction K. Glaisher: formule
asymptotique pour les hyperfactorielles, analogue à
la formule de Stirling pour les factorielles. |
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Fonction K |
La fonction K est une
généralisation de l'hyperfactorielle aux nombres complexes,
similaire à la généralisation de la factorielle à la fonction gamma. |
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Constante de Glaisher-Kinkelin Cette constante fait
intervenir l'hyperfactorielle Cette formule fait
penser à la formule de
Stirling, la constante A jouant le rôle de |
A = 1,28242712910062263687...
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Récapitulatif numérique jusqu'à 1000
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Les 52 nombres triangulaires, hypertriangulaires, factoriels et hyperfactoriels
jusqu'à 1000: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 21, 24, 28, 32, 36, 45,
55, 66, 78, 91, 105, 108, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 288,
300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 720,
741, 780, 820, 861, 903, 946, 990. Liste de ces nombres selon leur type: [1,
F], [1, hF], [1, hT], [1, T], [2, F],
[3, T], [4, hF], [5, hT], [6,
F], [6, T], [10,
T], [15, T], [21, T], [24, F], [28, T], [32, hT], [36, T], [45, T], [55, T], [66, T], [78, T], [91, T], [105, T], [108, hF], [120, F], [120, T], [136, T], [153, T], [171, T], [190, T], [210, T], [231, T], [253, T], [276, T], [288, hT], [300, T], [325, T], [351, T], [378, T], [406, T], [435, T], [465, T], [496, T], [528, T], [561, T], [595, T], [630, T], [666, T], [703, T], [720, F], [741, T], [780, T], [820, T], [861, T], [903, T], [946, T], [990, T] Les nombres 108 et 288 sont les plus
grands hyper inférieurs à 1000. |
Accès à ces nombres dans le DicoNombre
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