NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/10/2018 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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DIFFÉRENCES de CARRÉS

& REPDIGITS

Exemples

7² – 4² = 33

77² – 24² = 53 53

6² – 5² = 11

56² – 45² = 1 111

556² – 445² = 111 111

5556² – 4445² = 11111 111

78² – 23² = 5 555

778² – 223² = 555 555

7778² – 2223² = 55 555 555

etc.

a² – b² = (a + b)(a – b)

= (7 + 4)(7 – 4) = 11 x 3 = 33

56² – 45² = (56+45)(56–45)

= 101 x 11= 1 111

78² – 23² = (78+23)(78–23)

= 101 x 55= 5 555

Généralisation

Si x + y = 101 et x – y = A

Alors x² – y² = AA

On peut continuer avec 1001, 10001, etc.

x = 75

y = 101 – 75 = 26

A = 75 – 26 = 49

75² – 26² = 49 49

Voir développements plus complets en Différences de carrés et Repdigits

Et plus généralement en Différence de carré

DIFFÉRENCES de CARRÉS et 6

La différence entre 2 carrés n'est jamais égale à 6.
a² – b² 6

Démonstration par contradiction

Supposons	a² – b² = 6
On décompose	(a – b) (a + b) = 6
Deux possibilités numériques	1 x 6 = 6	2 x 3 = 6
Donnent les équations	a – b = 1 a + b = 6	a – b = 2 a + b = 3
Ajoutons les 2 équations	2a = 7	2a = 5
Soit	a = 7/2	a = 5/2
Les valeurs ne sont pas entières. L'hypothèse de départ ne tient pas.

Plus général

La différence entre 2 carrés n'est jamais de la forme:
a² – b² 2 (2k + 1)

Voir	Nombres Impairs et différence de carrés Carrés Somme de carrés Différence de carré S'y retrouver
Aussi	Addition des carrés Addition des entiers Addition des puissances Calcul mental des carrés Carrés magiques Multi-somme de puissances Nombres bons Nombres parfaits Repdigits Type de nombres: réels; irrationnels …
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