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22 Novembre 2025

 

 

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Équations diophantiennes en

 

Expressions diophantiennes du deuxième degré dont les valeurs sont les cubes de nombres entiers. Il s'agit donc de trouver quand un polynôme du deuxième degré est égal à un cube.

  

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Solution

>>> Cas de yn = x2 + qm

>>> Cas de y3 = x2

>>> Bilan

 

Débutants

Équations

 

Glossaire

Équations du 2e degré

 

Approche

haut

 

Formation d'une relation en y3

 

Étude de l'équation:

Calcul des racines de l'équation:

 

En faisant apparaitre un cube:

Cette relation est satisfaite pour x =

 

Cette relation est satisfaite pour x =

 

Graphe de y3 = x² + x + 7

 

Formalisation

(Évidente !)

 

Si ax² + bx + c = 0 pour x1 et x2, 
alors ax² + bx + c + k3  = k3 pour x = x1 et x = x2.

 

Exemple

   

x² + x – 20 + 103 

x= 4 => 16 + 4 – 20 + 1000 = 1000 = 103

 

 

Solutions

haut

 

Les 148 solutions pour a, b, c, x jusqu'à 10. Il y en a 65 752 jusqu'à 100.
Seule la valeur positive de y est mentionnée. La solution vue ci-dessus est marquée en jaune.

 

a, b, c, x,  y3, y

1, 1, 2, 2, 8, 2

1, 1, 6, 1, 8, 2

1, 1, 7, 4, 27, 3

1, 1, 8, 7, 64, 4

1, 2, 1, 7, 64, 4

1, 2, 3, 4, 27, 3

1, 2, 5, 1, 8, 2

1, 2, 5, 10, 125, 5

1, 3, 4, 1, 8, 2

1, 3, 9, 3, 27, 3

1, 3, 10, 6, 64, 4

1, 4, 3, 1, 8, 2

1, 4, 4, 6, 64, 4

1, 4, 6, 3, 27, 3

1, 4, 8, 9, 125, 5

1, 5, 2, 1, 8, 2

1, 5, 3, 3, 27, 3

1, 6, 1, 1, 8, 2

1, 6, 9, 5, 64, 4

1, 7, 4, 5, 64, 4

1, 7, 5, 8, 125, 5

1, 7, 9, 2, 27, 3

1, 8, 7, 2, 27, 3

1, 9, 5, 2, 27, 3

1, 10, 3, 2, 27, 3

1, 10, 6, 7, 125, 5

1, 10, 8, 4, 64, 4

2, 1, 5, 1, 8, 2

2, 1, 6, 3, 27, 3

2, 1, 6, 10, 216, 6

2, 1, 9, 5, 64, 4

2, 2, 3, 3, 27, 3

2, 2, 4, 1, 8, 2

2, 2, 4, 5, 64, 4

2, 3, 3, 1, 8, 2

2, 3, 6, 7, 125, 5

2, 4, 2, 1, 8, 2

 

2, 5, 1, 1, 8, 2

2, 5, 9, 2, 27, 3

2, 5, 9, 9, 216, 6

2, 6, 7, 2, 27, 3

2, 6, 8, 4, 64, 4

2, 7, 4, 4, 64, 4

2, 7, 5, 2, 27, 3

2, 8, 3, 2, 27, 3

2, 8, 5, 6, 125, 5

2, 9, 1, 2, 27, 3

2, 10, 8, 8, 216, 6

3, 1, 4, 1, 8, 2

3, 2, 3, 1, 8, 2

3, 2, 5, 6, 125, 5

3, 2, 8, 4, 64, 4

3, 2, 8, 8, 216, 6

3, 3, 2, 1, 8, 2

3, 3, 4, 4, 64, 4

3, 3, 9, 2, 27, 3

3, 4, 1, 1, 8, 2

3, 4, 3, 10, 343, 7

3, 4, 7, 2, 27, 3

3, 5, 5, 2, 27, 3

3, 6, 3, 2, 27, 3

3, 7, 1, 2, 27, 3

3, 8, 10, 5, 125, 5

3, 9, 5, 5, 125, 5

3, 9, 6, 7, 216, 6

3, 9, 10, 3, 64, 4

3, 10, 7, 3, 64, 4

3, 10, 10, 9, 343, 7

4, 1, 3, 1, 8, 2

4, 1, 9, 2, 27, 3

4, 1, 10, 9, 343, 7

4, 2, 1, 9, 343, 7

4, 2, 2, 1, 8, 2

4, 2, 6, 7, 216, 6

4, 2, 7, 2, 27, 3

4, 3, 1, 1, 8, 2

4, 3, 5, 2, 27, 3

4, 3, 10, 5, 125, 5

4, 4, 3, 2, 27, 3

4, 4, 5, 5, 125, 5

4, 5, 1, 2, 27, 3

4, 6, 10, 3, 64, 4

4, 7, 7, 3, 64, 4

4, 8, 4, 3, 64, 4

4, 9, 1, 3, 64, 4

4, 10, 7, 8, 343, 7

5, 1, 2, 1, 8, 2

5, 1, 2, 10, 512, 8

5, 1, 5, 2, 27, 3

5, 2, 1, 1, 8, 2

5, 2, 3, 2, 27, 3

5, 2, 7, 8, 343, 7

5, 3, 1, 2, 27, 3

5, 3, 10, 3, 64, 4

5, 4, 7, 3, 64, 4

5, 5, 4, 3, 64, 4

5, 5, 6, 6, 216, 6

5, 6, 1, 3, 64, 4

5, 9, 9, 4, 125, 5

5, 10, 5, 4, 125, 5

6, 1, 1, 1, 8, 2

6, 1, 1, 2, 27, 3

6, 1, 7, 3, 64, 4

6, 2, 4, 3, 64, 4

6, 2, 8, 9, 512, 8

6, 3, 1, 3, 64, 4

6, 5, 9, 4, 125, 5

6, 6, 5, 4, 125, 5

6, 6, 7, 7, 343, 7

6, 7, 1, 4, 125, 5

7, 1, 9, 4, 125, 5

7, 2, 5, 4, 125, 5

7, 2, 9, 10, 729, 9

7, 3, 1, 4, 125, 5

7, 7, 6, 5, 216, 6

7, 7, 8, 8, 512, 8

7, 8, 1, 5, 216, 6

7, 10, 10, 1, 27, 3

8, 2, 6, 5, 216, 6

8, 3, 1, 5, 216, 6

8, 8, 7, 6, 343, 7

8, 8, 9, 9, 729, 9

8, 9, 1, 6, 343, 7

8, 9, 10, 1, 27, 3

8, 10, 9, 1, 27, 3

9, 2, 7, 6, 343, 7

9, 3, 1, 6, 343, 7

9, 8, 10, 1, 27, 3

9, 9, 8, 7, 512, 8

9, 9, 9, 1, 27, 3

9, 9, 10, 2, 64, 4

9, 9, 10, 10, 1000, 10

9, 10, 1, 7, 512, 8

9, 10, 8, 1, 27, 3

9, 10, 8, 2, 64, 4

10, 2, 8, 7, 512, 8

10, 3, 1, 7, 512, 8

10, 7, 10, 1, 27, 3

10, 7, 10, 2, 64, 4

10, 8, 8, 2, 64, 4

10, 8, 9, 1, 27, 3

10, 9, 6, 2, 64, 4

10, 9, 8, 1, 27, 3

10, 9, 8, 3, 125, 5

10, 10, 4, 2, 64, 4

10, 10, 5, 3, 125, 5

10, 10, 7, 1, 27, 3

10, 10, 9, 8, 729, 9

 

 

Cas de x2 + qm = yn  avec n > 2

haut

 

Arif et Abu Muriefah ont prouvé qu'il n'existe que trois solutions pour :

 

Une exploration par ordinateur contredit cette affirmation et me donne quatorze solutions. En voici deux exemples avec 88².

 

 

 

Arif et Abu Muriefah, Luca et Tao ont prouvé qu'il n'existe que deux solutions pour :

 

Je confirme.

 

 

Luca a trouvé les solutions primitives de:

 

 

Bugeaud, Mignotte et Siksek ont trouvé toute les solutions de:

Soit une puissance éloignée d'un carré d'une valeur 7.

 

 

Les solutions pour x, y jusqu'à1000 et n et m jusqu'à 20 et q jusqu'à 100

 

 

Cas de y3 = x2

haut

 

Seule solution

 

x = a3 et y = a2

 

Démonstration

Décomposition en facteurs premiers de chacun des nombres x et y

Écriture de l'équation avec ces développements.

Théorème fondamental de l'arithmétique: les exposants sont égaux.

 

 

 

 

 

 

 

Bilan

Propriétés

Pour chacune des solutions proposées, il existe une infinité de solutions à la relation: y3 = ax² + bx + c.

Nouvel exemple avec la dernière solution citée: 10, 10, 9, 8, 729, 9.

10x² + 10x + 9 – 729 +  k3 = k3 pour x = 8

k = 2 => 10 x 64 + 10 x 8 + 9 – 729 + 8 = 0 + 8 = 23

 

Les mathématiciens se sont intéressés à des cas particuliers de cette équation et on trouvé quelques solutions. (Voir la rérence)

 

Note

Voir l'expression voisine: y2 = x3 + k,  l'équation de Mordell. Le mathématicien Louis Mordell y consacra une bonne partie de son temps.

 

Merci à J. Paul Blanc pour l'idée de cette page

 

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*      A note on the Diophantine equation x² + qm = y3

*      The number 26, between 25 and 27 – Resolution of the diophantine equation y3 – x2  = 2  - Axel Gougam  & Julien Baglio

*      The diophantine equation x3 – 3xy2 – y3 = 1 and related equations – Nicholas Tzanakis

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